第09讲勾股定理逆定理及简单应用-【暑假自学课】2022年新八年级数学暑假课（苏科版）.docxVIP

第09讲勾股定理逆定理及简单应用

【学习目标】

1.掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．

2.能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.

3.能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.

【基础知识】

一．勾股定理的逆定理

（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．

说明：

①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．

②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．

（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．

注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．

二．勾股数

勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．

说明：

①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．

②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．

③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…

三．勾股定理的应用

（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．

（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．

（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．

②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．

③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．

④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．

【考点剖析】

一．勾股定理的逆定理（共7小题）

1．（2021秋?邗江区期末）在△ABC中，若AC2﹣BC2＝AB2，则（）

A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．不能确定

2．（2021秋?镇江期末）下列四组数，可作为直角三角形三边长的是（）

A．4cm、5cm、6cm B．1cm、2cm、3cm

C．2cm、3cm、4cm D．1cm、cm、cm

3．（2021秋?沛县期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均为格点．判断△ABC的形状，并说明理由．

4．（2021秋?惠山区校级期末）以下列各组数为边长的三角形中，不能构成直角三角形的一组是（）

A．6、8、10 B．5、12、13 C．8、15、17 D．4、5、6

5．（2022春?姜堰区期中）如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”（格线的交点），以这5个格点中的3点为顶点画三角形，共可以画个直角三角形．

6．（2022春?泗阳县期中）如图，△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝10cm，AD是△ABC的中线，则△ABD的周长比△ACD的周长大cm．

7．（2022春?高港区校级月考）如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝BC＝5，CD＝7，AD＝1．

（1）求证：∠ADC＝90°；

（2）求△ABD的面积．

二．勾股数（共3小题）

8．（2021秋?溧阳市期末）在下列各数中，不是勾股数的是（）

A．5，12，13 B．8，12，15 C．8，15，17 D．9，40，41

9．（2021秋?靖江市期中）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；

10．（2022春?清江浦区校级期中）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”．在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表：

m

2

3

3

4

…

n

1

1

2

3

…

a

22+12

32+12

32+22

42+32

…

b

4

6

12

24

…

c

22﹣12

32﹣12

32﹣22

42﹣32

…

其中m、n为正整数，且m＞n．

（1）观察表格，当m＝