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2019届高三数学北师大版大一轮复习
数量积
考点一:求夹角
（1）设向量满足:,求向量与的夹角。
解:,又,所以.
已知=（1,0）,=（1,1）,求:（1）与同向的单位向量的坐标；（2）与夹角的余弦值。
解:（1）=(3,1.则与2a+b同向的单位向量为；
（2）=(-2,1)?.故所求夹角==-.
（3）已知向量满足,求向量与夹角的余弦值.
解：．
考点二。求数量积(正三角形,直角三角形,矩形等建立坐标系求解；平行四边形等用加法法则求解；)
（1）已知等边的边长为1,求的值。
解.＝.
（2）为等腰直角三角形,,为斜边的高,为线段的中点,求的值。
解:由题A(0,1),B(1,0),则C(),又P为CO中点,故P()..
（3）在边长为的等边中,分别在边BC与AC上,且,,求的值。
解:,,,设,由可得:,解得:,则,,.
(4)在边长为2的等边中,P为平面内一点,求的最小值。
解:,,,设,则.
（5）在平行四边形ABCD中已知AB=8,AD=5,,,求值。
解:,,
（6）菱形ABCD边长为2,,BC=3BE,。
考点三:求模长（模长:坐标或平方思想；投影:）
（1）。
解:由题:12=-3x,则x=-4,.
（2）已知。
解：。
（3）知点A(-1,2),B(1,3),C(-2,1),D(3,6）,求在方向上的投影。
解.=(2,1).=(5,5).在上的投影====.
(4)三角形ABC外接圆圆心为O,半径为2,且有:
解：
（5）点是线段的中点,,且,求.
解:,,即△ABC为直角三角形,AD为斜边上的中线,则.
（6）若= ________.
解：.
（7）设向量a,b满足||＝||＝|＋|＝1,则|－t|的最小值.
解:由于||＝||＝|＋|＝1,于是|＋|2＝1,即2＋2·＋2＝1,即·＝－,|－t|2＝2－2t·＋t22＝(1＋t2)－2t·＝t2＋t＋1≥,故|－t|的最小值为.
考点四:求参数,求最值
（1）已知向量..若与的夹角为钝角.则实数的取值范围是.
解:,,若与的夹角为钝角,则,即:,又不共线,则,即:,则且
三角形ABC为等边三角形,AB=2,且,若,求的值。
解:设A(-1,0),B(1,0),C（）,Q（x,y),则,(x+1,0)=(2,0)。同理得:,因为,则(+1)(2-1)+3-3=,即=。
（3）已知两个单位向量的夹角为60°,=t+(1-t),若=0,求t的值。
解:因为是单位向量,所以||=||=1,=+(1-t)2=0,t=t-1,则t=2。
（4）已知向量、、为单位向量,且,满足,则x+y最大值.
解:,所以.又,所以.所以x+y的最大值为
（5）A(-1,0),B(0,),C(3,0),且,求的最大值,最小值。
解:=的模长=。
几何意义为:（x,y)与p的距离,又,(x,y)是以（3,0）为圆心,1为半径的圆max==-1,min=.
（6）P为上动点,A,B,C是以原点为圆心单位圆上动点,且,求最小值。
解:==,
===37+min=37-12=25..mi.=5.
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