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北京市海淀区北京理工大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．直线的倾斜角为（????）

A．30° B．60° C．120° D．150°

2．已知直线平分圆：的周长，则（????）

A． B． C． D．

3．如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（???）

A． B．

C． D．

4．已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为（????）（用坐标表示）

A． B． C． D．

5．已知直线：和直线：，下列说法错误的是（????）

A．始终过定点 B．若，则或-3

C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限

6．空间内有三点，则点P到直线EF的距离为（????）

A． B． C． D．

7．已知圆直线，点P在直线l上运动，直线PA，PB分别与圆M相切于点A，B．则下列说法正确的个数是（???）

（1）四边形PAMB的面积最小值为???????????????

（2）最短时，弦AB长为

（3）最短时，弦AB直线方程为???

（4）直线AB过定点

A．1 B．2 C．3 D．4

8．在矩形中，，，将沿着翻折，使点在平面上的投影恰好在直线AB上，则此时二面角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

二、填空题

9．在正三棱锥中，是的中心，，则.

10．已知直线：，：，若，则实数.

11．设，过定点A的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值．

12．如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，则；直线与所成角的余弦值为.

三、解答题

13．已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为.

(1)求直线的方程；

(2)若点满足，求动点的轨迹方程.

14．已知四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面是PB的中点.

(1)求直线BD与直线PC所成角的大小；

(2)求点B到平面ADE的距离．

15．已知圆过点三个点．

(1)求圆的标准方程；

(2)已知，直线与圆相交于A，B两点，求的最小值．

16．已知平面边形中，，，且.以为腰作等腰直角三角形，且，将沿直线折起，使得平面平面.

??

(1)证明：平面；

(2)若是线段上一点，且平面，

①求三棱锥的体积；

②求平面与平面夹角的余弦值.

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

B

B

A

B

A

A

A

1．A

【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系即可得倾斜角．

【详解】因为该直线的斜率为，

所以它的倾斜角为．

故选：A．

2．B

【分析】由已知可得直线过圆心，代入圆心坐标可求.

【详解】由，可得圆心为，

因为直线平分圆：的周长，

所以直线过圆的圆心，则，解得.

故选：B.

3．B

【分析】利用空间向量线性运算进行求解.

【详解】由题意

，

又，

.

故选：B

4．A

【分析】先根据向量垂直得到方程，求出，再利用投影向量公式求出答案.

【详解】，，解得，

，

所以在上的投影向量为.

故选：A.

5．B

【分析】将直线化为可判断A；将或-3代入直线方程可判断B；根据可判断C；将直线化为，即可求解D.

【详解】：,令且，解得，故直线过点，A正确；

当时，：和直线：，故，重合，故B错误；

由，得或2，故C正确；

：始终过0,1，斜率为负，不会过第三象限，故D正确.

故选：B

6．A

【分析】求出，得到直线EF的一个单位方向向量，利用点到直线距离公式得到答案.

【详解】因为，所以直线EF的一个单位方向向量为．

因为，所以点P到直线EF的距离为．

故选：A

7．A

【分析】四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，当最短时，面积最小，当时，最短，求出面积即可得（1）错误；结合（1）和弦长公式以及几何关系可得（2）正确；当短时，由两直线平行得到斜率关系，再求出AB的直线方程，利用点到直线的距离求出，再结合几何关系确定的取值可得直线方程，最后可得（3）错误；设圆上一点，由向量的数量积为零得到关于点的两条直线方程，解方程组即可得到定点坐标，可得（4）错误；

【详解】对于（1），四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，即，

最短时，面积最小，故当时，最短，

即，

，故（1）错误；

对