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江西省鹰潭市余江区第一中学2024-2025学年高三上学期第三次模拟考试（11月期中）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则（????）

A． B． C． D．

2．若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则实数（????）

A．-2 B． C．1 D．2

3．“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

4．已知数列满足，则（???）

A． B．2 C．3 D．

5．已知，且，则的最小值是（????）

A．2 B．4 C．6 D．8

6．已知函数图象的两相邻对称轴之间的距离为，若存在，，使得成立，则的最大值为（????）

A．－4 B．－2 C．4 D．2

7．已知函数，若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

8．如图，在平面四边形中，，点是线段上的一点，且，点是线段上的一点，则的最小值为（???）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知a，b,m都是负数，且，则（???）

A． B．

C． D．

10．下列等式成立的有（????）

A．

B．

C．

D．

11．已知函数，则下列说法正确的是（????）

A．若在上单调递增，则的取值范围是

B．点为曲线的对称中心

C．若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是

D．若存在极值点，且，其中，则

三、填空题

12．已知向量，，若，则.

13．已知函数和的零点分别为，则.

14．锐角的内角的对边为，若的面积是，则的最小值是．

四、解答题

15．已知等差数列an的前项和为，且.

(1)求an

(2)设，求数列bn的前项和.

16．在中，内角，，的对边分别为，，，，.

(1)求；

(2)若，，求.

17．如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，，.

(1)求证：；

(2)求平面与平面的夹角的正弦值.

18．设抛物线的焦点为，是上一点且，直线经过点．

(1)求抛物线的方程；

(2)①若与相切，且切点在第一象限，求切点的坐标；

②若与在第一象限内的两个不同交点为，且关于原点的对称点为，证明：直线的倾斜角之和为．

19．高斯（Gauss）是德国著名数学家，被认为是历史上最杰出的数学家之一，并享有“数学王子”之称.用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，已知函数.

(1)证明：；

(2)已知函数，命题，使得成立；命题在区间上有零点.若中至少有一个是真命题，求正实数的取值范围；

(3)定义：函数的定义域为，函数，若存在，使得，则称点为函数的一个高斯点.记上的第个高斯点和第个高斯点连线的斜率为，证明：.

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

A

A

A

B

C

D

B

BD

AD

题号

11

答案

BCD

1．C

【分析】根据并集和补集的含义即可得到答案.

【详解】由题意，得，所以.

故选：C.

2．A

【分析】根据复数的除法运算以及几何意义结合对应的点位于实轴上，虚部为0求解即可.

【详解】，

因为复数在复平面内对应的点位于实轴上，所以，解得.

故选：A.

3．A

【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法即可得出结果.

【详解】当时，同号，显然有成立，

当时，两边平方得到，

即，所以，即，

所以是的充分不必要条件，

故选：A.

4．A

【分析】根据递推关系求出前几项可得出数列为周期数列即可得解.

【详解】因为数列满足，

所以，

所以，

所以是周期为3的周期数列，

又，所以．

故选：A．

5．B

【分析】根据题意，得，再利用基本不等式“1”的妙用求最值

【详解】因为，所以，

所以，

又，，所以，所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以，的最小值是4.

故选：B.

6．C

【分析】先求出，再根据正弦函数的性质求出函数的最值，从而可求的最大值.

【详解】因为相邻对称轴之间的距离为，故函数的最小正周期为，

故，故，

当时，，故，

因为存在，，使得成立，

所以即，故的最大值为4，

故选：C

7．D

【分析】由题意可得：当时，，当，，当，，再借助导数研究函数单调性与二次函数的性质计算即可得解.

【详解】由题意知，当时，恒成立，即恒成立，

即有