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《用函数模型解决实际问题》教学设计

教学设计

一、复习回顾，导入新课

1.提出问题：

前面我们学习了几类函数？

（一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数）

2.现实世界中许多变量之间可以确立函数关系，可以通过研究函数性质分析并解决相关的实际问题.

设计意图：通过回顾学习的函数类型，使本节内容与前面所学知识有效地衔接，让学生体会知识的发展过程.

二、新知探究

提出问题：

问题1：什么是数学模型？

数学模型是针对或参照某种事物的主要特征、主要关系，用形式化的数学语言，抽象概括地、简化近似地表达出来的一种数学结构.

问题2：什么是函数模型？

用函数关系描述的数学模型叫函数模型.

问题3：数学模型与函数模型是什么关系？

函数模型是一种特殊的数学模型.

让学生阅读本节教材第一段，自主学习上面三个问题.

课件展示例1（教材例6）：

某公司每年需要某种计算机元件8000个，每次购买元件需手续费500元，每个元件的库存费是每年2元若将这些元件一次购进，则可少花手续费，但即便不考虑资金占用，8000个元件的库存费也不少若多次进货，则可减少库存费，但手续费要增加现在需要确定：每年进货几次最经济（总费用最少）？

解决这个问题首先需要做一些假设：（1）每天需要同样多的元件；（2）其他费用可以作为常数看待.

问题1：8000个元件所需总费用由几部分构成？

总费用记为F元，一年的总库存费用记为E元，购买元件总手续费记为H元，其他费用记为C元，则.

问题2：库存费用与哪些量有关？

库存费用与平均库存量、每个元件的平均库存费用有关.

问题3：如何计算平均库存量与每个元件的平均库存费用？

若每年平均进货n次，（），则每次的进货量为个，假设用完q个元件的时间为年，在内，t时刻的库存量为V（t），满足.

解得.

如图，阴影部分的面积是第一个时间段内需支付库存费的库存量的总和，相当于在年内每一时刻需支付库存费的库存量均为（个）.

在年内，每个元件的库存费为元，则个元件的库存费为

（元）,

一年总库存费为

（元）.

问题4：如何计算购买元件总手续费H？

购买元件总手续费=每次购买元件需手续费×购买次数.

所以.

问题5：如何求解此函数的最小值？

（利用均值不等式求解）

求解过程如下：

由基本不等式，得

.

当且仅当，即时，上面的不等式取等号，此时总费用最少，故每年进货4次最经济.

设计意图：本例题的模型叫作存贮模型.解决这类实际问题的一般思维方法是先整体考虑总费用由几部分构成，然后再考虑每一部分费用的求解方法，层层分解，本例题通过5个问题的设计，把一个较复杂的问题分解成一个个简单的问题从而解决，这也是解决这类问题的基本思维方法.

课件展示例2（教材例5）：

要建造一段5000m的高速公路，工程队需要把600人分成两组，一组完成一段2000m的软土地带公路的建造任务，同时另一组完成剩下的3000m的硬土地带公路的建造任务据测算，软、硬土地每米公路的工程量分别是50人·天和130人·天问：如何安排两组的人数，才能使全队筑路工期最短？

提出问题：

问题1：设在软土地带工作的人数为x人，你能表示出在软土地带的筑路时间和在硬土地带的筑路时间吗？

（在软土地带筑路时间为；在硬土地带筑路时间为）

问题2：全队筑路所需时间取决于什么？你能表示出这个时间取决于什么吗？

全队筑路所需时间取决于用时间较长的一组，表示如下：

因为函数在区间上是减函数，函数在区间上是增函数，所以全队筑路工期为

由，即,得.从而

.

问题3：如何求这个分段函数的最小值？

因为函数在区间上递减，在区间上递增，所以是函数最小值点.但不是整数，于是计算和，其中较小者即为所求.

经计算，.

于是，当安排316人到软土地带工作，284人到硬土地带工作时，可以使全队筑路工期最短.

设计意图：这是一个工期最短问题，通过问题设计，引导学生思考、探究，对于实际问题，当自变量需要取整数时，如果最值点不是整数，需要对相邻的两个整数进行讨论.

巩固练习：

某商店进了一批服装，每件进价为60元每件售价为90元时，每天售出30件在一定的范围内这批服装的售价每降低1元，每天就多售出1件请写出利润（单位：元）与售价（单位：元）之间的函数关系式，当售价是多少元时，每天的利润最大？

先让学生自主完成，再找两名学生板演，最后教师讲解评价.

三、课堂小结

引导学生共同小结，归纳用函数模型解决实际问题的一般的方法步骤：

（1）合理选取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函数模型问题；

（2）运用所学知识研究函数问题，得到函数问题的解答；

（3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解；

（4）在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观性，研究两