《单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义》课标解读 (1).docVIP

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《单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义》课标解读

教材分析

正弦函数和余弦函数是高中学习的基本初等函数三角函数中的两个重要函数，与学习其他基本初等函数一样，需要学习它们的概念、图象和性质，并能用它们描述一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题.本节内容是正弦函数和余弦函数的概念，这两个概念是本章教学内容的基本概念，也是学好全章内容的关键，对三角内容的整体学习至关重要，同时它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备，也是今后高考的必考内容之一.

本节的重点是任意角的正弦函数、余弦函数的定义及求角的正弦函数值和余弦函数值；难点是利用单位圆上点的坐标或用角的终边上除原点外的任一点的坐标的比值求任意角的正弦函数值、余弦函数值.突破重点与难点的关键是，理解角的终边与单位圆交点的坐标与角的正弦函数值、余弦函数值的对应关系，把握正弦函数、余弦函数的本质，结合锐角三角函数的定义及直角坐标系中单位圆与角的终边的交点坐标的图象直观理解.

本节内容所涉及的主要数学核心素养有：直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算等.

学情分析

对学生而言，在初中学生已经接触过锐角的正弦函数与余弦函数，而且也学习了很多基本初等函数，有一定的知识经验，但用单位圆上点的坐标表示任意角的正弦函数和余弦函数，与学生在锐角正弦函数、余弦函数学习中建立的已有经验有一定的距离，与学生在学习其他基本初等函数的学习中建立起来的经验也有距离.学生熟悉的函数是实数到实数的对应，而这里给出的函数首先是实数（弧度数）到点的坐标的对应，然后才是实数（弧度数到实数（横坐标或纵坐标）的对应，这就会给学生的理解造成一定困难.因此，在学习过程中，可以根据教材的安排，在对锐角的正弦函数、余弦函数已有的几何直观认识的基础上，先建立直角三角形的锐角与第一象限角的联系，再引出用单位圆上点的坐标表示锐角的正弦函数、余弦函数的结论，在此基础上，再定义任意角的三角函数，这样循序渐进，学生学习起来容易理解与接受.

教学建议

正弦函数、余弦函数的定义是以后学习一切正弦函数佘弦函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住正弦函数值、余弦函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点.正弦函数、余弦函数是一种对应关系，是单位圆上的点的坐标与正弦函数值、余弦函数值的对应关系，因此，讲清这一对应关系尤为重要.

在教学中，第一，教师应当向学生指出，“给定任意角，作单位圆，角的终边与单位圆的交点为，把点P的纵坐标v定义为角的正弦值，记作；把点P的横坐标定义为角的余弦值，记作”中，是一个任意角，同时也是一个实数（弧度数）；“角的终边与单位圆的交点为”，实际上给出了两个对应关系，即对应于点P的纵坐标对应于点P的横坐标u.讲清上述对应关系，有利于学生理解正弦函数、余弦函数的定义，培养数学抽象的数学核心素养.

第二，通过例1的学习，使学生认识到求角的正弦函数值、余弦函数值不但可以用单位圆上点的坐标求解，还可以用终边上除原点外的任一点的坐标的比值来求解.

第三，让学生独立思考教材第15页“思考交流”，完成表1-2，引导学生观察表中的数据，思考：（1）正弦函数值、余弦函数值与角所在象限的关系；（2）正弦函数、余弦函数的最大值与最小值；（3）函数值的增大与减小情况.通过思考交流，培养学生探究问题的能力，也为下一节知识的学习奠定基础.

学科核心素养

目标与素养

1.通过直角三角形中锐角??的正弦函数、余弦函数，理解单位圆中锐角??的正弦函数、余弦函数的定义，达到直观想象和数学抽象核心素养学业质量水平一的层次.

2.会利用直角坐标系和单位圆把锐角??的正弦函数、余弦函数推广到任意角的正弦函数、余弦函数，达到直观想象和逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次.

3.理解任意角的正弦函数、余弦函数的概念，了解角、实数、三角函数之间的关系，达到数学抽象核心素养学业质量水平二的层次.

4.能够根据任意角的正弦函数、余弦函数的定义求解任意角的正弦函数值和余弦函数值，达到直观想象和数学运算核心素养学业质量水平一的层次.

情境与问题

本案例通过回顾初中学习过的锐角的正弦函数、余弦函数的定义，提出在平面直角坐标系中，利用单位圆来进一步研究锐角的正弦函数、余弦函数的问题，引导学生思考，从而引入本节课题.

内容与节点

三角函数是高中学习的基本初等函数中的一个重要函数，是初中学习的锐角三角函数的推广，与学习其他基本初等函数一样，关键是学习三角函数的概念、图象和性质，本节课的主要内容是正弦函数、余弦函数的定义，需要熟练掌握.

过程与方法

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