高考数学考点题型归纳与方法总结(新高考)素养拓展21数列中的结构不良问题(学案+练习)（2024年）.docxVIP

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

素养拓展21数列中的结构不良问题（精讲+精练）

一、知识点梳理

一、知识点梳理

一、数列中的结构不良问题

1．“结构不良问题”：题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分．

2．数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；

（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；

（3）对于型数列，利用分组求和法；

（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和．

3．常见的裂项公式：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）．

二、题型精讲精练

二、题型精讲精练

【典例1】（2021·全国·统考高考真题）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

【详解】选①②作条件证明③：

[方法一]：待定系数法+与关系式

设，则，

当时，；

当时，；

因为也是等差数列，所以，解得；

所以，，故.

[方法二]：待定系数法

设等差数列的公差为d，等差数列的公差为，

则，将代入，

化简得对于恒成立．

则有，解得．所以．

选①③作条件证明②：

因为，是等差数列，

所以公差，

所以，即，

因为，

所以是等差数列.

选②③作条件证明①：

[方法一]：定义法

设，则，

当时，；

当时，；

因为，所以，解得或；

当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；

当时，，不合题意，舍去.

综上可知为等差数列.

[方法二]【最优解】：求解通项公式

因为，所以，，因为也为等差数列，所以公差，所以，故，当时，，当时，满足上式，故的通项公式为，所以，，符合题意.

【题型训练-刷模拟】

一、解答题

1．（2023春·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知公差为正数的等差数列的前项和为，________．请从以下二个条件中任选一个，补充在题干的横线上，并解答下列问题：①成等比数列，②．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和．

2．（2023春·江苏宿迁·高三江苏省泗阳中学校考阶段练习）设为等差数列的前n项和，是正项等比数列，且.在①，②，③这三个条件中任选一个，回答下列问题：

(1)求数列和的通项公式；

(2)如果，写出的关系式，并求的值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

3．（2023·全国·高三专题练习）在①a4是a3与a5﹣8的等差中项；②S2，S3+4，S4成等差数列中任选一个，补充在下列横线上，并解答．

在公比为2的等比数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若_____．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和Tn．

4．（2023秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知数列的前项和为，，且．

(1)证明：数列为等差数列；

(2)选取数列的第项构造一个新的数列，求的前项和．

5．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答所给问题.已知数列的前n项和为Sn，且满足.

(1)求与；

(2)记，求数列的前n项和Tn.

6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且，.请在①；②成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，记数列的前项和为，求证：．

7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且，________________．请在①；②，，成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

8．（2023·全国·高三专题练习）设数列是等比数列，其前项和为

(1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求的通项公式；

①；②；

(2)在（1）的条件下，若，求数列的前项和

9．（2023·全国·高三专题练习）从①；②；③三个选项中，任选一个填入下列空白处，并求解.已知数列，满足，且，，______，求数列的前项和.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

10．（2023·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考一模）已知数列?的前?项和为?，且?，__________．请在?成等比数列;?，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．

(1)求数列?的通项公式;

(2)设数列?的前?项和?，求证：?．