高考数学考点题型归纳与方法总结(新高考)素养拓展30阿波罗尼斯圆和蒙日圆的问题(学案+练习)（2024年）.docxVIP

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

素养拓展90阿波罗尼斯圆和蒙日圆的问题（精讲+精练）

一、知识点梳理

一、知识点梳理

一、阿波罗尼斯圆

1.阿波罗尼斯圆的定义

在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．（时点的轨迹是线段的中垂线）

2.阿波罗尼斯圆的证明

设．若（且），则点的轨迹方程是，其轨迹是以为圆心，半径为的圆．

证明：由及两点间距离公式，可得，

化简可得①，

（1）当时，得，此时动点的轨迹是线段的垂直平分线；

（2）当时，方程①两边都除以得，化为标准形式即为：

，∴点的轨迹方程是以为圆心，半径为的圆．

图①图②图③

【定理】为两已知点，分别为线段的定比为的内外分点，则以为直径的圆上任意点到两点的距离之比为．

证明：以为例．如图②，设，，则，

．过作的垂线圆交于两点，由相交弦定理及勾股定理得，于是．

同时在到两点距离之比等于的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，

圆上任意一点到两点的距离之比恒为．同理可证的情形．

9.阿波罗尼斯圆的相关结论

【结论1】当时，点B在圆内，点A在圆外；当时，点A在圆内，点B在圆外．

【结论2】因，故是圆的一条切线．若已知圆及圆外一点A，可以作出与之对应的点B，反之亦然．

【结论9】所作出的阿波罗尼斯圆的直径为，面积为．

【结论4】过点作圆的切线（为切点），则分别为的内、外角平分线．

【结论5】阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分和外分所得的两个分点，如图所示，是的内分点，是的外分点，此时必有平分，平分的外角．

证明：如图①，由已知可得（且），，又，

平分．由等角的余角相等可得，平分的外角．

【结论6】过点作圆不与重合的弦，则AB平分．

证明：如图③，连结，由已知（且），又，平分．

平分．

二、蒙日圆

1.蒙日圆的定义

在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1．

证明：设椭圆的方程为，则椭圆两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：．①当题设中的两条互相垂直的切线斜率均存在且不为时，可设（且），过的椭圆的切线方程为，由得，

由其判别式值为，得，

是这个关于的一元二次方程的两个根，，

由已知点的坐标满足方程．

②当题设中的两条互相垂直的切线有斜率不存在或斜率为时，可得点的坐标为或，此时点也在圆上．

综上所述：椭圆两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：．

2.蒙日圆的几何性质

【结论1】过圆上的动点作椭圆的两条切线，则．

证明：设点坐标，由，得

，由其判别式的值为0，

得，

，是这个关于的一元二次方程的两个根，，，，．

【结论2】设为蒙日圆O：上任一点，过点作椭圆的两条切线，交椭圆于点为原点，则的斜率乘积为定值．

【结论9】设为蒙日圆O：上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则的斜率乘积为定值，且的斜率乘积为定值（垂径定理的推广）．

【结论4】过圆上的动点作椭圆的两条切线，O为原点，则平分椭圆的切点弦．

证明：点坐标，直线斜率，由切点弦公式得到方程，，，由点差法可知，平分，如图是中点．

【结论5】设为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交蒙日圆O于两点C，D，则的斜率乘积为定值．

【结论6】设为蒙日圆上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则的斜率乘积为定值：．

【结论7】设为蒙日圆上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则的最大值为，的最小值为．

【结论8】设为蒙日圆上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为的最小值为．

二、题型精讲精练

二、题型精讲精练

【典例1】设，是平面上两点，则满足(其中为常数，且)的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，已知，，且.

（1）求点所在圆的方程.

（2）已知圆与轴交于，两点(点在点的左边)，斜率不为0的直线过点且与圆交于，两点，证明：.

【详解】（1）解：由题意可得，，即，

则，整理得，即圆的方程为.

（2）证明：对于圆，令，得或，所以，.

设直线的方程为，，.

由得，

则，.

则直线与关于轴对称，即.

【典例2】已知椭圆的一个焦点为，离心率为．

（I）求椭圆的标准方程；

（II）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程．

【详解】（I）可知，又，故椭圆的标准方程为．

（II）设两切线为，

①当轴或//轴时，对应//轴或轴，可知或．

②当与轴不垂直且不平行时，，设的斜率为，则的斜率为，的方程为，联立，得，

∵直线与椭