高考数学考点题型归纳与方法总结(新高考)素养拓展31圆锥曲线中焦半径和焦点弦公式的应用(学案+练习)（2024年）.docxVIP

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

素养拓展91圆锥曲线中焦半径和焦点弦公式的应用（精讲+精练）

一、知识点梳理

一、知识点梳理

一、椭圆的焦半径和焦点弦公式

【焦半径形式1】椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上任意点，则椭圆的焦半径和可按下面的公式计算：

（1）；（2）（记忆：左加右减）

【焦半径形式2】椭圆的一个焦点为F，P为椭圆上任意一点，设，则椭圆的焦半径，若延长交椭圆于另一点Q，则椭圆的焦点弦.

二、双曲线的焦半径和焦点弦公式

【焦半径形式1】双曲线的左、右焦点分别为、，点为双曲线任意一点，则双曲线的焦半径和可按下面的公式计算：

（1）；（2）（记忆：左加右减）

【焦半径形式2】双曲线的一个焦点为F，P为双曲线上任意一点，设，则双曲线的焦半径，若直线交双曲线于另一点Q，则双曲线的焦点弦.（焦半径公式中取“+”还是取“－”由P和F是否位于y轴同侧决定，同正异负）

三、抛物线的焦半径和焦点弦公式

【焦半径形式1】设点在抛物线上，、，是抛物线的焦点弦，则抛物线的坐标版焦半径、焦点弦公式如下表：

标准方程

图形

焦半径公式

焦点弦公式

【焦半径形式2】直线AB过抛物线的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，设α为AB的倾斜角

（1）弦长AB＝eq\f(2p,sin2α)

（2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为：（通径）2p.

（9），，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)为定值eq\f(2,p).

二、题型精讲精练

二、题型精讲精练

【典例1】椭圆的左、右焦点分别为、，点P在椭圆上，则的取值范围为_______.

【解析】由题意，，，，设，其中，

则，，所以

【典例2】双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上的一点P满足，则点P的坐标为_______.

【解析】由题意，，，，，由焦半径公式，，，

因为，所以，解得：或（舍去）

代入双曲线的方程可求得，所以P的坐标为.

【典例9】过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A、B两点，若，则_____.

【解析】设，则，所以，故.

【典例4】抛物线的焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线l被抛物线C截得的弦长为______.

【解析】解法1：由题意，，设，代入整理得：，

设两根为和，则，故直线l被抛物线C截得的弦长.

解法2：直线l被抛物线C截得的弦长.

【题型训练-刷模拟】

1.椭圆的焦半径和焦点弦公式

一、单选题

1．已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，当取最大值时，三角形面积为（????）

A． B． C．2 D．4

2．已知动点在椭圆：上，为椭圆的右焦点，若点满足，且，则的最小值为（????）

A．9 B．2 C． D．1

9．已知椭圆的右焦点为，若过的直线与椭圆交于两点，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

4．已知为椭圆上任意一点，EF为圆的任意一条直径，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

5．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为、，为第一象限内上一点．若，则直线的斜率为（????）

A． B． C． D．

6．已知椭圆：的右焦点为，点，为第一象限内椭圆上的两个点，且，，则椭圆的离心率为（????）

A． B． C． D．2

7．如图，椭圆的左?右焦点分别为，，过点，分别作弦，.若，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

8．已知椭圆的左焦点为，离心率为．倾斜角为的直线与交于两点，并且满足，则的离心率为（????）

A． B． C． D．

9．已知椭圆和，椭圆的左右焦点分别为、，过椭圆上一点和原点的直线交圆于、两点.若，则的值为（???）

A． B． C． D．

10．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点、是椭圆上位于轴上方的两点，且，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

二、填空题

11．已知椭圆C的离心率，左右焦点分别为，P为椭圆C上一动点，则的取值范围为.

12．已知椭圆，线段的两个端点在椭圆上移动，且是的中点，则的最大值是．

19．设、分别为椭圆：的左、右两个焦点，过作斜率为1的直线，交于、两点，则

14．已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，且，若第一象限的点、在上，，，，则直线的斜率为.

15．若直线：（其中）与圆相切，与椭圆：交于点，，为其右焦点，则的周长为.

16．已知椭圆的左?右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为.

2.双曲线的焦半径和焦点弦公式

一、单选题

1．已知双曲线上的点到焦点的最小距离为，且与直线无交点，则的