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轴对称与全等

一、轴对称的基本概念

1、轴对称图形与对称轴：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，

这个图形就叫做轴对称图形，这条直线是它的对称轴；或者说这个图形关于这条直线（成

轴）对称.

例1、一些常见的轴对称图形与它们的对称轴

线段有条对称轴，正六边形有条对称轴，圆有条对称轴.

例2、根据已有图形局部及其对称轴，补全其余部分

画法：从轴对称图形上任意一点向对称轴作一条垂线，再延长与垂线相同的长度，即

可得到与该点处于对称位置的点.

2、两个图形的轴对称关系：把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，

则称这两个图形关于这条直线对称；折叠后重合的点是对应点，称为对称点.

例3、已知一个图形，画出与它关于某直线对称的另一个图形

将具有轴对称关系的两个图形看作一个整体，则它是一个轴对称图形；反过来，若将

一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，则这两个图形关于这条轴对称.

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例4、在直角坐标系中，A点的坐标是(2,3)，则A点关于x轴的对称点的坐标是，

A点关于y轴的对称点的坐标是，A点关于一、三象限对角线的对称点的坐

标是，A点关于二、四象限对角线的对称点的坐标是.

二、轴对称的基本性质

1、对称轴与对应点连线的关系：；

如图：已知△ABD与△ACD关于直线AD对称，则AD与BC的关系是：

2、线段和它的垂直平分线

（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离；

（2）另一方面，的点，在这条线段的垂直平分线上.

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（3）由此，我们可以得到用直尺和圆规作给定线段的垂直平分线的方法：

例5、三角形各边的垂直平分线

如图，△ABC中，边AB,BC的垂直平分线交于点P.

（1）求证：PA＝PB＝PC.

（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上呢？

由此你还能得出什么结论？

三、利用轴对称解决问题

例6、下图是由三个小正方形组成的一个图形，请你添加一个小正方形，使所得图形是轴对

称图形.你能想到多少种添加方式？

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例7、如图，有一张矩形纸片ABCD，上面画有一个角的两边m,n，但是这个角的顶点P在

纸的外部，试在纸片上作出∠P的平分线.

例8、设D为等腰三角形ABC底边BC的中点，E为△ABD内任一点，求

证：∠AEB＞∠AEC.

例9、如图，平行线a,b是一条灌溉渠道的两岸，A,B是位于渠道两旁的两个村庄，今要在

渠上架一座与岸垂直的桥梁，且使得两个村庄到桥头的距离相等.问：此桥应架在何

处？

*例10、如图，在△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC，垂足为D，P为AD上任意一点.

求证：PB―PC＞AB―AC.

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