初中数学北师大版九年级下册：锐角三角函数（第一课时）.docx

教学设计

课程基本信息

学科

数学

年级

九年级

学期

春季

课题

锐角三角函数（第一课时）

教学目标

1.通过比较现实情境中梯子的陡与缓，会用不同方法刻画梯子的倾斜程度，感受数学的广泛应用，体会特殊到一般、转化等数学思想，发展抽象能力、推理能力.

2.经历探索直角三角形边角关系的过程，利用相似的直角三角形建立锐角三角函数的概念，能结合图形说明正切、正弦、余弦的含义，能准确用tanA，sinA，cosA表示直角三角形中两边的比，在已知边长的直角三角形中，会求一个锐角的正切、正弦、余弦，进一步体会研究图形的一般思路，发展抽象能力、推理能力、几何直观.

3.经历运用直角三角形边角关系解决简单问题的过程，体会锐角三角函数概念的关系性，发展推理能力、应用意识.

教学重难点

教学重点：1.建立直角三角形边角之间的关系

2.形成锐角三角函数（正切、正弦、余弦）概念

教学难点：“正切”的引入；“正切、正弦、余弦”概念的关系性与函数性

教学过程

1.1锐角三角函数

一、温故知新

让学生观察直角三角形，回顾相关知识.

设计意图：回顾直角三角形相关知识，唤起先前记忆，为本节的学习奠定基础和创造条件.

学生回顾的基础上,老师说同学们提到的这些性质都是直角三角形中同类元素之间的关系，——即角的性质，边的性质，那么直角三角形边与角之间有怎样的性质呢？有的同学说有直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半。老师说这只是特殊的边角之间的关系，那究竟一般的直角三角形中的边和角之间有没有关系呢？而这些关系又能帮助我们解决哪些实际问题呢？带着这些疑问进入本章的探究学习,总结并引出今天探究的重点-------直角三角形的边角关系.

二、新知探究

探究活动一：比较梯子的倾斜程度

梯子在变陡的过程中，哪些量发生了变化？倾斜角、铅直高度、水平宽度

40°55°

40°

55°

问题1：

倾斜角的大小影响着梯子的陡缓，让学生发现梯子的倾斜程度与倾斜角有关，倾斜角越大，梯子越陡。

问题2：

很多实际问题中，人们无法测量角度，我们也可以从边的角度进行研究.铅直高度一定时，水平宽度越小，梯子越陡或水平宽度一定时，铅直高度越大，梯子越陡。

（引导学生证明倾斜角的大小关系，边的变化本质上是角的变化）

问题3：

铅直高度与水平宽度不同，但是他们是成比例的。这样就可以通过证明两个三角形相似得到对应角相等，因而倾斜角也相等，因此两个梯子一样陡的结论.关键是从相似的证明过程中得出铅直高度与水平宽度的比值。

问题4：

铅直高度与水平宽度不同，但是他们也不成比例时，学生自然想到把他转化为我们前面研究过的方法-要么铅直高度相同，要么水平宽度相同。为了研究方便把水平宽度变得相同，进行缩放：使水平宽度都变成1，这样就得到了比较两个梯子的倾斜程度的通性通法，用铅直高度与水平宽度的比值刻画梯子的倾斜程度，得出结论：比值越大，梯子越陡。

问题5：

通过一组探究后，让学生思考梯子的倾斜程度与什么相关？

（1）倾斜角

（2）

通过刚才的活动，我们发现刻画梯子的倾斜程度，一个是跟倾斜角有关，倾斜角越大，梯子越陡，第二个是跟铅直高度与水平宽度的比值有关，这个比值越大，梯子越陡。那么既然跟他俩都有关系，那究竟这两个量之间有什么关系？

设计意图：通过一组梯子问题的探究一方面让学生发现梯子的倾斜程度与哪些量有关系，更重要的是让学生逐步建立锐角和对边与邻边比值之间的关系.在发现问题和解决问题的过程中，学生的逻辑推理能力，数据分析能力都得到了发展.

探究活动二：探索角度与比值的关系

活动1-计算∠A的对边与邻边的比值

我们先从我们手中最熟悉的三角板开始，有30度，45度和60度。通过计算我们发现这些锐角对边与邻边的比值是一个定值。这样的锐角有很多，不止我们研究的特殊的角度，这样的比值也还有很多。我们在几何画板中给大家演示一下。

在几何画板中给出任意锐角后，通过操作让学生体会每当角度确定时，比值也唯一确定角度改变比值也就改变。那么只通过大量的例子来说明他俩的关系好像不够严密，我们在数学上要论证一个问题就必须要对他进行严密的推理论证。

活动2-证明：在一组相似三角形中证明锐角确定比值就确定与其所处的三角形和对边、邻边的具体值无关.

学生体会：在直角三角形中，当一个锐角的度数变化时，它的对边与邻边的比值也随之变化，而对于锐角的每一个确定的度数，对边与邻边的比值都是唯一确定的。这种角度和比值之间存在一种对应关系-函数关系

设计意图：让学生经历从具体到一般的研究问题过程，学会在直角三角形中研究边角关系.先计算几个特殊角的对边与邻边的比值再过渡到几何画板中展示任意锐角的情况，到最后严密的推理论证.从感知猜想到验证结论，最终确定了两者之间的函数关系，学生经历概念形成过程，由感知、表象抽象出准确的数学概念