优质课件：9.1.2 三角形的内角和与外角和.pptxVIP

第九章多边形9.1三角形9.1.2三角形的内角和与外角和

在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们写第三个内角拼在起，发现三个内角恰好拼成了一个平角.新课导入

311222133还有折叠的方法得出结论：三角形的内角和等于180°.

如图，已知△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示△ABC的三个内角，证明∠1+∠2+∠3=180°.ABC123新课探索

你还有其他方法吗？ABC123解延长BC至点E，以点C为顶点，在BE的上侧作∠DCE=∠2，ED∵CD//BA，∴∠1=∠ACD（两直线平行，内错角相等）∵∠3+∠ACD+∠DCE=180°，∴∠1+∠2+∠3=180°.则CD//BA（同位角相等两直线平行）.

ABC123∵∠1+∠4+∠5=180°（平角定义），∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）.证明：过点A作直线l，使l∥BC.∵l∥BC，∴∠2=∠4，∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）.45

思考通过前面的操作和证明过程，你能受到什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？CAB12345lP6mCAB12345lP6mnCAB12345lP6mn

ACB由三角形的内角和等于180°，容易得出下面的结论：直角三角形的两个锐角互余.你能说明其理由吗？

ACB∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°.

练习如图，说出各图中∠1的度数.30°105°1（2）80°50°1（1）22°1（3）50°45°68°

现在我们讨论三角形的外角及外角和.如图，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角.外角相邻内角不相邻内角

ABCD三角形的外角与内角有什么关系呢？∠CBD（外）+∠ABC（相邻的内角）=180°.

那么外角∠CBD与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？依据三角形的内角和等于180°，我们有∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°.ABCD

由上面两个式子，可以推出∠CBD=180°–∠ABC，∠ACB+∠BAC=180°–∠ABC.那么外角∠CBD与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？ABCD

因而可以得到结论:∠CBD=∠ACB+∠BAC.那么外角∠CBD与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？ABCD

由此可知，三角形的外角有两条性质:1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.2.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.

练习∠C∠3∠DAC∠4如图，口答：（1）∠1=+；（2）∠2=+.BACD1234

ABC123∠1+∠2+∠3是△ABC的外角和.∠1+_______=180°，∠2+_______=180°，∠3+_______=180°.∠ACB∠BAC∠ABC三式相加可以得到∠1+∠2+∠3+______+______+______=______，∠ACB∠BAC∠ABC540°而∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°，

可以得到∠1+∠2+∠3=360°.三角形的外角和等于360°.你能证明吗？

证明：过点A作AD∥BC，∴∠1=∠EAD，∠3=∠BAD.又∵∠2+∠BAD+∠EAD=360°，∴∠1+∠2+∠3=360°.ABC123DE

例1如图，D是△ABC的边BC上一点，∠B=∠BAD，∠ADC=80°，∠BAC=70°.求：（1）∠B的度数；（2）∠C的度数.ABDC

ABDC解??（1）∵∠ADC是△ABD的外角（已知），∴∠B+∠BAD=?∠ADC?=?80°（三角形的一?个外角等于与它不相邻的两个内角的和）.

又∵∠B=∠BAD（已知），∠B?=?80°×=40°（等量代换）.12

ABDC（2）∵∠B+∠BAC+∠C=180°（三角形的内角和等于180°）,∴∠C=180°