数学课后导练：正态分布.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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课后导练

基础达标

1。如果提出统计假说：某工人制造的零件尺寸服从正态分布N(μ,σ2),当随机抽取其一个值a时，下列哪种情况中，可以说明假设不成立(）

A。a∈（μ-3σ，μ+3σ）B.a(μ—3σ,μ+3σ）C.a∈（μ—2σ,μ+2σ）D。a（μ-2σ，μ+2σ)

答案：B

2。设随机变量ξ服从正态分布N（10，22)，且P(｜ξ-10|＜a)=0。9，则a=___________（a取整数）。

答案：a=3.

3.正态总体的概率密度函数f（x)=(x∈R）,则正态总体在区间（1,4）内取值的概率________________.

答案:0.997

4。ξ服从标准正态分布。

试求:（1)P(ξ＜1。8）；(2)P（—1＜ξ＜1。5）；

（3）P（ξ＞1。5）;(4)P（｜ξ｜＜2)。

解析：标准正态曲线关于y轴对称,且有P（x＜x0）=Φ（x0）,Φ(-x0)=1-Φ(x0），关于Φ（x）的计算可查标准正态分布表，可得（1)P（ξ＜1.8）=Φ(1.8)=0。9641;（2）P（—1＜ξ＜1。5)=Φ(1.5）-Φ（-1）=0.9332—1+Φ（1)=0。7745；(3）P（ξ＞1.5）=1—Φ(1。5)=1-0.9332=0.0668；（4)P（｜ξ｜＜2)=Φ(2）—Φ（-2)=2Φ（2）—1=2×0。9772-1=0.9544.

5。在某次人事录用考试中，某科的分数ξ—N（80,100）(满分100分)，已知某考生通过查分得知自己的成绩为92分，且排名第20名，而总共录取人数为50名，问录取分数线约为多少（若下限分数有相同者，再补充其他规定）.

解析：因为ξ—N（80,100），由条件知

P(ξ≥92)=1-P(ξ＜92)=1-Φ（）=1-Φ（1。2）=1-0.8849=0。1151。

这说明成绩在92分和92分以上的这20名考生在全体考生中占11.51％。

因此考生总数大致为≈174名,

故前50名考生在全体考生中占的比例为0。2874。

设第50名考生的成绩为x，则

P（ξ≥x)=1—P（ξ＜x)

=1-Φ(）=0。2874。

Φ（）=0.7126，=0。56，解得x=85。6.所以录取分数线约为86分。

综合运用

6。总体密度曲线是函数f(x)=，x∈R的图象的正态总体有以下命题：

(1)正态曲线关于直线x=μ对称;

（2）正态曲线关于直线x=σ对称；

（3）正态曲线与x轴一定不相交;

（4)正态曲线与x轴一定相交，其中正确的命题是（）

A。（2）（4）B.（1)(4)C。(1)(3)D。(2)（3）

答案：C

7。假设总体服从正态分布N(3，）时,如果要拒绝这个统计假设，则在一次试验中的取值a应落在区间____________内.

答案：a∈（-∞，］∪[，+∞)。

8。设随机变量ξ—N（μ,σ2），而且已知P(ξ＜0.5）=0。0793,P(ξ＞1.5）=0.7611,求μ与σ。

解析:因为ξ—N（μ，σ2),所以P（ξ＜0。5）=Φ(）=0.0793,即1—Φ（）=0.0793，

所以Φ(）=0。9207，查表得=1.41,易得=0.71.解方程组,得.

9.假设某次数学考试成绩ξ服从正态分布N（70,102），已知第100名的成绩是60分，求第20名的成绩约是多少分？

解析:由题意可知:P（ξ≥60）=1-P（ξ＜60)=1-Φ（）=1—Φ（-1）=0。8413.这说明数学成绩在60分和60分以上的考生（共100名)在全体考生中占84.13%，因此考生总数大致为≈119名,故前20名考生在全体考生中的比率大约为：≈0。1681。设t为第20名考生的成绩，则有P（ξ≥t)=1-Φ()≈0.1681。从而Φ（)≈0。8319，经查表，得≈0.96，于是第20名学生的数学成绩约为79.6分。

拓展探究

10。一投资者在两个设资方案中选择一个，这两个投资方案的利润x(万元）分别服从正态分布N（8,32）和N（6,22），投资者要求利润超过5万元的概率尽量地大，那么他应选择哪一个方案？

解析：对第一个方案，有x—N(8,32)，于是P（x＞5）=1—P（x≤5）=1—F(5）=1-Φ（)=1—Φ（—1）=1-［1-Φ（1)］=Φ(1）=0.8413.

对第二个方案，有x—N（6,22）,于是P（x＞5)=1-P(x≤5)=1—F（5）=1—Φ（）=1-Φ(-0.5）=Φ（0。5)=0.6915.

相比之下，“利润超过5万元”的概率以第一个方案为好,