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直观性应用性数学论文-数学论文-教育论文

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1数学学习必须体现直观性原则

1.1数学图示类的直观

讲授《高等数学》定积分时，一个常用技巧就是化简具有奇偶性的函

数在对称区间的积分。课本上一道例题给出了化简法则的代数证明，

但是纯代数推导过程会让学生感觉过于抽象，课程也会变得乏味。如

果使用直观的图形，进行无字证明，就可以让学生从图示中直接看到

奇函数积分左右抵消的结果。再进一步加强，对称中心(对称轴)不在

原点(y轴)时，也可以通过平移使用这个性质，常见的情形如:任意正

(余)弦函数在每个波峰波谷之间的半个周期上的定积分都是零，而不

一定要关于原点对称。为了让学生更透彻更直观地了解知识点，需要

具体的例题支撑，接下来给出例1，计算定积分∫π20sin2xdx．解答:

利用倍角公式，原题可化为12∫π20(1－cos2x)dx=(12∫π20dx－

∫π20cos2xd)x，可以发现积[分区间0，π]2恰好是cos2x从波峰到波谷

的半个周期，因此这一部分积分为0，原题最终结果等于12∫π20dx=。π4

学生直观的看到较复杂的函数计算也可以简化，自然对这个性质印象

深刻，应用起来也会得心应手。

1.2实际操作类的直观

《概率论》的贝叶斯公式一节有一个著名的问题———三门问题。例

2在一个电视节目中，有3扇关闭了的门，其中有一扇门的后面奖品

是汽车，另外两扇门后面的奖品则是一只山羊，当然我们都希望拿到

汽车，而不愿意把山羊领回家。当参赛者选定了一扇门，但未去开启

它的时候，知道内情的节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，故意

露出其中一只山羊。请问此时是否应该换另一扇仍然关上的门?这个

问题出自于名为LetsMakeaDeal的美国电视节目，经常出现在网络论

坛上，每次都会引起激烈的争论，因为虽然该问题的答案在逻辑上并

不自相矛盾，但十分违反直觉。和网上的情形一样，课堂上也出现了

两种完全不同的声音。如果仅仅通过计算得到结果，似乎做不到让学

生“口服心服”。因此我们可以课堂上现场操作这样一个具体案例，让

学生在操作过程中回归概率的本质，直观地看到这个结果，再进一步

分析为什么会有这样的结果，经过这样一个实际操作的模式，可以让

学生对全概公式以及贝叶斯公式的本质更加清晰，达到了很好的学习

效果。此外，此问题的答案与主持人是否知情有关:原题中主持人知

情，故意开了一个羊门“”，那么更换后获奖概率从1/3上升至2/3;如

果把条件稍加修改，改为主持人不知情，只是恰好打开一个“羊门”，

那么换不换是一样的，获奖率都是1/2。这个细节上的差别恰恰就是

引起争论的根源。

1.3现实情境类的直观

《线性代数》是数学基础课中抽象程度最高的课程，代数也被H．Weyl

喻为“恶魔”。该课程概念繁多且环环相扣，尤其在目前数学课时并不

富余的大环境下，借助数学直观让学生把这些抽象概念具体化，顺利

的制服这个“恶魔”，是一个值得探讨的话题。矩阵的秩是线性代数中

出现的第一个难于理解的概念，初学者在看完定义后的困惑就是“这

个概念究竟要干什么?有什么用?”。此时可以给出一个不太严格，但

是很直观的解释———秩就是矩阵包含的信息量!再给出秩为0、1、2

的矩阵配合定义加以说明，学生脑中秩的直观印象就建立起来了。再

由此可以深入浅出地介绍其他一些和秩相关的理论。如齐次线性方程

组解空间的维数，也可以从直观的角度加以说明。如果方程组中一个

方程都没有，那么n维空间中随意一点都满足方程组，有n个自由度，

每添加一个新的方程就相当于限制了一个自由度。但是重要的不是方

程的总数，也许100个方程的信息量都是重复的，因此重要的是“新

的”方程的总数，也就是矩阵的秩。还有一些常用不等式也能以直观

性原则说明。例如r(AB)≤r(B)，矩阵B所携带的信息量就是r(B)，无论

对它加以什么样的线性变换A，也无法增加其信息量，至多只能保持

不变，或者减少。同样r(A+B)≤r(A)+r(B)，矩阵叠加后信息量不会超过

原来两个矩阵的总和，还有可能因信息重复而减少，因而不等式成立。

当然直观解释并不是万能的，从上述例子可以看出，为了把概念解释

的更直观，通常需要丧失一些严密性。PhilipJ．Davis和ＲeubenHersh

给出了数学直观的一些负面性质:直观是严密的对立面;直观意味着不

全面;直观意味着不考虑问题的细