专题5.1 二次函数的字母系数问题（压轴题专项讲练）（苏科版）（原卷版）.pdfVIP

专题5.1二次函数的字母系数问题

2

【典例1】已知抛物线y＝ax+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，

2

有下列结论：①c＞0；②9a+3b+c＞0；③若方程ax+bx+c+1＝0有解x1、x2，满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2

＞4；④抛物线与直线y＝x交于P、Q两点，若PQ=66，则a＝﹣1；其中，正确结论的个数是（）

个．

A．4B．3C．2D．1

【思路点拨】

利用数形结合的方法解答，依据已知条件画出函数的大致图象，依据图象直接得出结论可判定①②③的正

确；分别过点P，Q作坐标轴的平行线，则△PHQ为等腰直角三角形，设点P，Q的横坐标分别为m，n，

2

则m，n是方程ax+（b﹣1）x+c＝0的两根，利用韦达定理和待定系数法可得到用a的代数式表示PQ，利

用PQ=66，列出方程，解方程即可求得a值，即可判定④的结论不正确．

【解题过程】

解：∵a＜0，

2

∴抛物线y＝ax+bx+c的开口方向向下．

2

∵抛物线y＝ax+bx+c经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，

∴由抛物线的对称性可得抛物线经过点（4，0）．

2

综上抛物线y＝ax+bx+c的大致图象如下：

由图象可知：抛物线与y轴交于正半轴（0，c），

∴c＞0．

∴①的结论正确；

由图象可知：当﹣2＜x＜4时，函数值y＞0，

∴当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0．

∴②的结论正确．

作直线y＝﹣1，交抛物线于两点，它们的横坐标分别为x1，x2，如图，

2

则x1，x2是方程ax+bx+c＝﹣1的两根，

2

即方程ax+bx+c+1＝0的解为x1、x2，

由图象可知：满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4，

∴③的结论正确；

如图，分别过点P，Q作坐标轴的平行线，它们交于点H，

则△PHQ为等腰直角三角形，

∴PH＝HQ，PQ=2HQ．

=2++

∴．

=

2

∴ax+（b﹣1）x+c＝0．

设点P，Q的横坐标分别为m，n，

2

∴m，n是方程ax+（b﹣1）x+c＝0的两根，

1−

∴m+n=，mn=．

1−4

∴HQ＝|m﹣n|=(−)2=(+)2−4=()2−．

2

∵抛物线y＝ax+bx+c经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，

4−2+=0

∴．

−=1

2

=−2

∴=−8．

12

∴HQ=()2+32．

∵PQ=66，

12

∴2•()2+32=66．

1

解得：a＝﹣1或−