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欧拉公式的证明与应用毕业论文

本科生毕业设计(论文)欧拉公式的

证明与应用二级学院:

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完成日期:2013年5月12日目录

1.引言1

2.欧拉公式的证明2

2.1幂级数展开式的证明法2

2.2求导法3

2.3分离变量积分法3

2.4极限法4

2.5变上限积分法5

2.6复数定义法6

3.欧拉公式的应用6

3.1运用欧拉公式证明其他公式定理7

3.2计算虚数的幂次虚数9

3.3解三角方程10

3.4常见的三角函数积分10

3.5计算三角函数式的值11

4小结12

参考文献12

欧拉公式的证明与应用

摘要:欧拉公式形式众多,在数学领域内的应用范围很广,本

文介绍其中一种欧拉公式复函数形式,对欧拉公式的成因以及在三角函数中的应

用作了详细的研究.

关键词:欧拉公式;三角函数;应用TheProofandtheApplicationsof

EulersFormula

Abstract:TheformoftheEulersformulaisnumerous,andthe

applicationoftheEulersformulaisextensive.Thispaperstudiesthe

genesisoftheEulersformulaandtheapplicationoftheEulersformula

tothetrigonometricfunctionsindetail.

Keywords:Eulersformula;trigonometricfunction;application

1.引言

欧拉公式形式众多,有多面体欧拉公式、欧拉求和公式、,

欧拉积分等多种形式.而等式称为复数的欧拉公式.

1714年,英国数学家科兹,首先发表了下述定理(用现代记号表示):.

1740年,著名数学家欧拉在给约伯努利的信中道,和都是同一个微分方

程的解.因此他们应该相等的,1743年,欧拉又发表了这个结果:,

1748年欧拉重新发现了科兹所发现的结果,它等价于,.这就是著名的欧拉公式.

当,得,即.这个等式被称为“世界上最杰出的公式”,她将数学中的最富有特色的

五个数,,,1,0联系起来,其中0,1是实数中特殊的数字,是一个很重要的虚数单

位,是无理数,是圆周率,它们在数学中各自都有发展的方面.因此公式充分揭示

了数学的统一性、简洁性和奇异性.了解这些内容对于学习高等数学,对于我们在

研究较深的数学问题上有很大帮助.

2.欧拉公式的证明

2.1幂级数展开式的证明法

函数的幂级数展开式,因其具有规范的形式和特殊的性质,不只在近似计

算中有广泛的应用,而且还可以利用它得到数学领域中一些重要的公式.由三个

幂级数展开式,得到数学领域中最优美的一个结果欧拉公式.

由麦克劳林级数得,将函数展开成的幂级数

将函数展开成幂级数,

将函数展开成幂级数

.

当用代替时,那么

.

当时得到

.

2.2求导法

Lagrange