弹性力学-本构关系-PPT.pptxVIP

§4-1物体的弹性性质和广义胡克定律§4-2线弹性材料的本构关系第四章本构关系§4-3各向同性线弹性材料的物理方程

一般情况下，物体的应力与应变呈某一函数关系，可表示为：应力与应变张量均为六个独立分量。则§4-1物体的弹性性质·广义Hooke定律一.弹性的概念如果材料呈单值连续关系（不一定线性），则称为柯西（Cauchy）弹性材料（一般意义上的弹性）。

受材料在单向拉伸试验时弹性阶段的应力与应变呈线性关系（胡克定律）的启发，线弹性材料在复杂应力状态下其应力张量与应变张量亦呈线性关系。称为广义胡克定律的一般形式呈线性单值连续关系的材料性质称为线弹性。在柯西弹性的基础上附加等温绝热的外部环境条件，使有势函数存在，则这种弹性性质又称为超弹性。可以证明线弹性一定是超弹性。二.广义胡克（Hooke）定律即

广义胡克定律的一般形式最广泛地描述了材料的线弹性性质，但未能描述物体外部环境条件和内部物理特征。其中——称为弹性常数，共81个系数，因各六个独立，缩减为36个独立的常数。cmn和cijkl的下标对应关系：m、n123456ij、kl112233122331如，c22?c2222，c56?c2331矩阵表示形式：——分别称为应力和应变列阵——称为弹性矩阵。其元素cmn为36个其中张量表示形式：

§4-2线弹性体的本构关系如果材料在变形过程中处于等温绝热过程。根据热力学第一定律和相应数学推导，有势，其势函数U0(?ij)为物体单位体积的变形能（应变能）。——Green公式由同理即

弹性矩阵为对称矩阵，共有21个独立的弹性常数对称广义胡克定律的上述形式表征的是各向异性材料的本构关系。如果材料具有弹性对称面，则本构关系还可简化，使弹性常数进一步缩减。弹性体中每一点均有一个对称方向，在这些对称方向上弹性性质相同，即应力应变关系不变。称为弹性对称。弹性对称弹性对称方向弹性对称方向弹性对称面弹性主轴弹性主轴

一.横观各向异性材料相应的对称方向和对称面称为弹性对称方向和弹性对称面。垂直于弹性对称面的方向称为弹性主轴。xyz弹性对称面OP(x,y,z)P(x,y,-z)y?设Oxy平面为材料的弹性对称面，z轴为弹性主轴。其中[C]为各向异性的弹性矩阵现将z轴反向，考察其本构关系x?z?仅具有一个弹性对称面的材料称为横观各向异性材料。体内一点P(x,y,z)的应力和应变为{?}和{?}。则

在新坐标下，由于弹性对称，应力应变关系保持不变但P点坐标和应力应变分量发生变化由坐标变换两坐标系三轴的方向余弦为x?y?z?x100y010x00-1代入上式由比较得

例如比较[C?]和[C]中的第一行横观各向异性材料，其独立的弹性常数为13个；正应变会产生切应力，切应变也会产生正应力工程上，单斜晶体（如正长石）可简化为横观各向异性弹性体。横观各向异性材料的广义胡克定律可表示为对称

将y轴反向，不产生新的结果。将x轴反向，仿前分析步骤可得二.正交各向异性材料xyzP(x,y,z)O设三个弹性对称面分别为Oxy、Oyz和Ozx平面，材料沿x、y、z三方向弹性性质各异。具有三个相互垂直弹性对称面的材料称为正交各向异性材料。

综合之，正交各向异性材料的广义胡克定律可表示为对称正交各向异性材料，其独立的弹性常数为9个；正应变仅产生正应力，切应变仅产生切应力。煤、木材、增强纤维复合材料等可简化为正交各向异性弹性体。工程上一般用三个弹性模量（Ex、Ey、Ez），三个泊松比（Poisson）（?xy、?yz、?zx）和三个切变模量（Gxy、Gyz、Gzx）表示。

三.横观各向同性材料具有各向同性面，