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级数理论及其在初等数学中的应用
级数理论是大学数学分析这门课程中的一部分，也是在许多相关数学分支
与自然科学领域和生产实际中有着十分重要应用的基础知识。如果能将级数知
识的各部分内容有机的整合，领会知识的背景和作用，不仅能延伸到后续的其
他内容或课程中，提高数学思维能力和数学方法的应用能力，还能从更深处解
决初等数学中的部分问题。
1级数理论部分
1.1级数的基本概念
定义1（级数定义）给定一个数列u，对它的各项依次用“+”号连结起
n
来的表达式
uuu（1）
12n
称为数项级数或无穷级数，简称级数，记为，其中u称为数项（1）的通
u
nn
n1
项．
n
nn
数项级数（1）的前项之和，记为Su，称之为（1）的前项部分和，
nk
k1
简称为部分和．
S
定义2（级数收敛、发散定义）若级数（1）的部分和数列S收敛于（即
n
S
limSS），则称级数（1）收敛，并称为（1）的和，记为Su．若S
nnn
n
n1
是发散数列，则称级数（1）发散．
1.2级数理论的知识体系
级数理论包括常数项级数和函数项级数两大部分知识.
1.2.1常数项级数
包括：概念、性质、收敛性判别法、绝对收敛与条件收敛。其中在收敛性
判别法中，根据常数项级数的不同类型又有相应的不同的判别方法。详见附录
1《常数项级数收敛性判别法》。
1.2.2函数项级数.
包括：概念、收敛域、一致收敛、幂级数、傅里叶级数。下面重点谈一下
幂级数及其收敛域。因为基本初等函数在一定范围内都可展成幂级数，幂级数
有许多方便的运算性质，在研究初等函数方面成为一个很有力的工具。利用幂
级数的展开式来表示函数，利用幂级数和函数.
的分析性质等，常常能解决许多初等数学中的疑难问题。
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