导数的概念、运算及几何意义9题型分类-2025年高考数学一轮专题复习考点检测.docx

专题11导数的概念、运算及几何意义9题型分类

一、导数的概念和几何性质

1.概念

函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．

注：①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数；

②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近；

③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即．

2.几何意义

函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．

3.物理意义

函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．

二、导数的运算

1.求导的基本公式

基本初等函数

导函数

（为常数）

2.导数的四则运算法则

（1）函数和差求导法则：；

（2）函数积的求导法则：；

（3）函数商的求导法则：，则．

3.复合函数求导数

复合函数的导数和函数，的导数间关系为：

4.导数的几何意义

（1）在点的切线方程

切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．

（2）过点的切线方程

设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，

又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）

注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．

（一）

导数的定义

对所给函数式经过添项.拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出．

题型1：导数的定义

1-1．（2024高二下·北京·期中）已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（????）

A． B．

C． D．

1-2．（2024高三上·云南楚雄·期末）已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（????）

A．5cm/s B．6cm/s C．8cm/s D．10cm/s

1-3．（2024高二下·天津·期中）已知函数的导函数是，若，则（）

A． B．1 C．2 D．4

1-4．（2024高二下·重庆·阶段练习）若函数在处可导，且，则（????）

A．1 B． C．2 D．

1-5．（2024高三·全国·课后作业）若在处可导，则可以等于（????）．

A． B．

C． D．

（二）

求函数的导数

对所给函数求导，其方法是利用和.差.积.商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题．

题型2：求函数的导数

2-1．（2024·湖北武汉·三模）已知函数，则.

2-2．（2024高三下·河南·阶段练习）已知函数的导函数为，且，则．

2-3．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数．

(1)；

(2)；

(3)

(4)；

2-4．（2024高三·全国·课后作业）求下列函数的导数：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6)．

（三）

导数的几何意义

函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率．这里要注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别．（1）已知在点处的切线方程为．（2）若求曲线过点的切线方程，应先设切点坐标为，由过点，求得的值，从而求得切线方程．另外，要注意切点既在曲线上又在切线上．

题型3：在某点处的切线方程

3-1．（2024·广东广州·三模）曲线在点处的切线方程为．

3-2．（2024·全国）函数的图像在点处的切线方程为（????）

A． B．

C． D．

3-3．（2024高三上·陕西·阶段练习）曲线在点处的切线方程为（????）

A． B． C． D．

3-4．（2024·全国）曲线在点处的切线方程为（????）

A． B． C． D．

3-5．（2024·全国）曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为

A． B．

C． D．

题型4：过某点的切线方程

4-1．（2024·湖南·模拟预测）过点作曲线的切线，则切点的横坐标为，这条切线在x轴上的截距为．

4-2．（2024高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）曲线过坐标原点的两条切线方程为，.

4-3．（山东新高考联合质量测评2023-2024学年高三上学期9月联考数学试题）过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（????）

A． B． C． D．3

题型5：已知切线求参数问题

5-1．（2024·重庆·三模）已知直线y＝ax－a与曲线相切，则实数a＝（????）

A．0 B． C． D．

5-2．（2024·全国）设曲线y=ax-ln(x+1)在点