函数与方程4题型分类-2025年高考数学一轮专题复习考点检测.docx

专题09函数与方程4题型分类

一、函数的零点

对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.

二、方程的根与函数零点的关系

方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.

三、零点存在性定理

如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根.

四、二分法

对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.

五、用二分法求函数零点近似值的步骤

（1）确定区间，验证，给定精度.

（2）求区间的中点.

（3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）

（4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步.

用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.

（一）

求函数的零点或零点所在区间

求函数零点的方法：

（1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.

题型1：求函数的零点或零点所在区间

1-1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，函数的零点为.

1-2．（2024高三·全国·专题练习）函数的零点为．

1-3．（2007·湖南）函数的图象和函数的图象的交点个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

1-4．（2024·湖北）方程的实数解的个数为.

1-5．（2024·北京）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是

A． B． C． D．

1-6．（2024高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数的零点位于区间内，则.

1-7．（2024高一上·北京·期中）设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是（????）

A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)

（二）

利用函数的零点确定参数的取值范围

本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解.

题型2：利用函数的零点(个数）确定参数的取值范围

2-1．（2024·天津北辰·三模）设，对任意实数x，记．若有三个零点，则实数a的取值范围是．2-2．（2024高一上·江西·阶段练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

2-3．（2024高三下·上海浦东新·阶段练习）已知函数在上有零点，则实数的取值范围.

2-4．（2024·浙江绍兴·二模）已知函数，若在区间上有零点，则的最大值为.

2-5．（2024·天津）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为．

2-6．（2024·天津）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为.

（三）

嵌套函数的零点问题

1、涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围．

2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功要扎实．

题型3：嵌套函数的零点问题

3-1．（2024高三上·浙江绍兴·期中）已知函数有三个不同的零点.其中，则的值为（????）

A．1 B． C． D．

3-2．（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数，若关于的方程有且只有三个不同的实数解，则正实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

3-3．（2024·河南安阳·模拟预测）已知函数，则关于的方程有个不同实数解，则实数满足（????）

A．且 B．且

C．且 D．且

3-4．（2024·四川广安·一模）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为

A． B．或 C．或 D．或或

（四）

二分法

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.

题型4：二分法

4-1．（2024高三·全国·专题练习）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为（）

A．5 B．6 C．7 D．8

4-2．（2024高一上·辽宁·期中）用二分法求方程的近似解时，可以取的一个区间是（????）

A． B． C． D．

4-3．（2024高一上·四川广安·期中）函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：

????????????????????????????????

????????????????

那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（????）

A．1.5