2025届高三上学期第二次诊断考试（11月）数学试题.docx

山东省实验中学2025届高三第二次诊断考试

数学试题

2024.11

说明：本试卷满分150分.试题答案请用2B铅笔和0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.

一?单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，若，则实数（）

A.0B.C.0或D.0或1

2.已知复数满足，则的虚部是（）

A.B.C.D.

3.已知等比数列中，，则（）

A.4B.C.8D.

4.设函数，若，则的取值范围是（）

A.B.

C.D.

5.已知，则等于（）

A.2B.3C.4D.6

6.已知随机变量，且，则的最小值为（）

A.5B.C.D.

7.已知函数在上有最小值，则实数的取值范围为（）

A.B.C.D.

8.将一枚均匀的骰子独立投掷两次，所得的点数依次记为，记事件为“”，则（）

A.B.C.D.

二?多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数的部分图象如图所示，则下列说诖正确的是（）

A.

B.的图象关于直线对称

C.是偶函数

D.将图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，则得到函数

10.如图，在四边形中，，，则下列结论正确的是（）

A.B.

C.D.的面积是

11.数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）.给出下列四个结论，其中正确结论是（）

A.图形关于轴对称

B.曲线恰好经过4个整点（即横?纵坐标均为整数的点）

C.曲线上任意一点到原点的距离都不超过

D.曲线所围成的“心形”区域的面积大于3

三?填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若是偶函数，则__________.

13.已知向量满足，则的最大值为__________.

14.定义：如果集合存在一组两两不交（任意两个集合交集为空集时，称为不交）的非空真子集，且，则称无序子集组构成集合的一个划分，若函数在有且只有一个零点的的取值集合为，则集合的所有划分的个数为__________.

四?解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.

15.（13分）已知等差数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，求的前项和.

16.（15分）在中，角的对边分别为，已知.

（1）求的值；

（2）若点在边上，且，求的面积.

17.（15分）已知函数.

（1）讨论的单调区间；

（2）若有三个极值点，求正数的取值范围.

18.（17分）口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4个是黑球，现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将4个黑球全部取出时停止.

（1）记总的抽取次数为，求；

（2）现对方案进行调整：将这7个球分别装在甲乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个是黑球；乙袋装4个小球，其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为，求，并从实际意义解释与（1）中的的大小关系.

19.（17分）已知为正实数列，且.我们称满足（其中）的三元数组为“比值组”.

（1）若，且为等差数列，写出所有的比值组；

（2）给定正实数，证明：中位数为4（即中）的比值组至多有3个；

（3）记比值组的个数为，证明：.

山东省实验中学2025届高三第二次诊断考试

数学试题答案

2024.11

一?单项选择题

1CAABC6DDC

二?多项选择题

9.ABD10.ACD11.ACD

三?填空题

12.13.14.14

四?解答题

15.（13分）解：（1）设的公差为，则，

解之得

所以

（2）由（1）可知，

所以.

16.（15分）解：（1）（法一）因为，

由正弦定理知，

所以3，

所以3，

即，

因为，

所以，

所以，即

（法二）因为，

所以，

所以，

由射影定理得，即

（法三）因为，

所以，

所以，

所以，即.

（2）（法一）在中，

在中，，

所以，所以，

所以，因为，

所以，

所以.

（法二），

，

所以，解之得.

下同法一.

（法三）因为，

所以①，

②，

将②代入①得，解之得

下同法一.

17.（15分）（1），

则，

当时