湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 含答案.docx

湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

时量：120分钟满分：150分

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知复数，则在复平面对应的点位于（）

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

2.设直线的倾斜角为，则（）

A. B. C. D.

3.如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）

A. B.

C. D.

4.已知数列为等差数列，.设甲：；乙：，则甲是乙的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5.假设一水渠横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（）（，，）

A.0.816m B.1.33m C.1.50m D.1.63m

6.已知圆与圆外切，则的最大值为（）

A.2 B. C. D.3

7.若函数在区间上只有一个零点，则的取值范围为（）

A. B. C. D.

8.已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在两点使得梯形的高为（为该椭圆的半焦距），且，则椭圆的离心率为（）

A. B. C. D.

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.下列说法正确是（）

A.用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，某个个体被抽到的概率是0.2

B.已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5

C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的分位数是18

D.若样本数据的平均值为8，则数据的平均值为15

10.下列四个命题中正确的是（）

A.过定点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为

B.过定点的直线与以为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为或

C.定点到圆上的点的最大距离为

D.过定点且与圆相切的直线方程为或

11.在棱长为2的正方体中，点P满足，、，则（）

A.当时，点P到平面的距离为

B.当时，点P到平面的距离为

C.当时，存在点P，使得

D.当时，存在点P，使得平面

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.假设，且与相互独立，则______.

13.斜率为的直线与椭圆相交于两点，的中点为，则______．

14.已知公差不为的等差数列an的前项和为，若，，，则的最小值为__________．

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知三个内角的对边分别为，且.

（1）求角；

（2）若，点满足，且，求的面积；

16.在四棱锥中，底面是正方形，若，，.

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面夹角的余弦值.

17.已知双曲线的左、右焦点分别为、，的一条渐近线方程为，且.

（1）求的方程；

（2），为双曲线右支上两个不同的点，线段的中垂线过点，求直线的斜率的取值范围.

18.已知是数列的前项和，若.

（1）求证：数列为等差数列；

（2）若，数列的前项和为.

（ⅰ）求取最大值时的值；

（ⅱ）若是偶数，且，求.

19.直线族是指具有某种共同性质直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.

（1）若圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式；

（2）若点Px0,y0不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线

（3）在（2）的条件下，过曲线上两点作曲线的切线，其交点为.已知点C0,1，若三点不共线，探究是否成立？请说明理由.

湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

时量：120分钟满分：150分

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

【1题答案】

【答案】D

【2题答案】

【答案】A

【3题答案】

【答案】A

【4题答案】

【答案】A

【5题答案】

【答案】D

【6题答案】

【答案】D

【7题答案】

【答案】A

【8题答案】

【答案】C

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

【9题答案】

【答案】ACD

【1