第10讲 函数的方程与零点（学生版） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）.pdf

第10讲函数的方程与零点

（类核心考点精讲精练）

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1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

函数与方程的综合应用,根据函数零点的个数求参数范围,已知方程求双曲

2024年天津卷，第15题,5分

线的渐近线

2023年天津卷，第15题,5分根据函数零点的个数求参数范围

2022年天津卷，第15题,5分根据函数零点的个数求参数范围,根据二次函数零点的分布求参数的范围

2021年天津卷，第9题,5分根据函数零点的个数求参数范围

2020年天津卷，第9题,5分函数与方程的综合应用，根据函数零点的个数求参数范围

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度较高，分值为5分

【备考策略】1.理解、掌握函数的零点，能够理解函数的方程，函数的零点与交代你的含义

2.能掌握函数图像与性质

3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像解决零点问题

4.理解并掌握二分法思想，会用零点的存在性定理判断零点的个数

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般难度系数较高，通常为判断零点的个数，或者已知

零点个数求取值范围。

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知识讲解

知识点一.零点

1.函数零点概念

对函数=，把使=0的实数做函数=的零点

2.零点存在性定理:

如果函数=在区间[上的图象是连续不断一条曲线，并且有0f，那么，函数=

在区间(内有零点.即存在(，使得=0，这个c也就是方程=0的根.

3.零点存在唯一性定理:

=0[

如果函数在区间上的图象是连续不断一条曲线，并且有，且在上单调，那么

=((=0=0

函数在区间内有唯一的零点.即存在唯一的，使得，这个也就是方程

的根.

4.函数零点、方程的根与函数图像的关系

函数==−有零点

方程=−=0有实数根⟺函数=,=图像有交点

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求函数y=零点的方法:

①直接解方程=0;

②利用图象求其与轴的交点(交点的横坐标即是零点);

③将方程=0变为两个函数，通过图象看它们的交点情况(同时可以知道零点的个数);

④可通过二分法求函数的零点的近似值.

5.二次函数的零点:

2

二次函数=++≠0)

2

∆0++=0

(1)，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点

2

∆=0++=0

(2)，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个零点.

2

∆0++=0

(3)，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点

知识点二．函数的图象

1.函数的图像