导数的应用--函数的单调性问题5题型分类-2025年高考数学一轮专题复习考点检测.docx

专题12导数的应用--函数的单调性问题5题型分类

一、单调性基础知识

1、函数的单调性

函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.

2、已知函数的单调性问题

①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增；

②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减.

二、讨论单调区间问题

类型一：不含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；

（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；

（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；

（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；

（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；

（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；

求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导.

（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；

类型二：含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；

（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；

（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；

（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；

（5）导数图象定区间；

（一）

利用导函数与原函数的关系确定原函数图象

原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）；原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）.

题型1：利用导函数与原函数的关系确定原函数图象

1-1．（天津市西青区为明学校2023-2024学年高三上学期开学测数学试题）已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如下图所示，则该函数的大致图象是（????）

A． B．

C． D．

1-2．（天津市瑞景中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（????）

A． B．

C． D．

1-3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中可能是图象的是（????）

A． B．

C． D．

1-4．（2024·陕西西安·一模）已知定义在上的函数的大致图像如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（????）

A． B．

C． D．

（二）

求单调区间

1.求函数的单调区间的步骤如下：

（1）求的定义域

（2）求出.

（3）令，求出其全部根，把全部的根在轴上标出，穿针引线.

（4）在定义域内，令，解出的取值范围，得函数的单调递增区间；令，解出的取值范围，得函数的单调递减区间.若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开.

2.导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：

（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；

（2）不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；

（3）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

3.已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围

（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函数的形式及图象特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等.

（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围.

（3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.

题型2：求单调区间

2-1．（2024高三下·江西鹰潭·阶段练习）函数的单调递增区间为（????）

A． B． C． D．

2-2．（2024高二下·湖北·期中）函数的单调递增区间（????）

A． B． C． D．

2-3．（2024·上海静安·二模）函数（）

A．