版高考数学大一轮复习第三章4第四节导数与函数的综合问题夯基提能作.pdfVIP

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第四节导数与函数的综合问题

A组基础题组

x2

1.(2017北京西城一模,18)已知函数f(x)=e-x.设直线l为曲线y=f(x)在点P(x,f(x))处的切线,其

00

中x∈[-1,1].

0

(1)求直线l的方程(用x表示);

0

(2)设O为原点,直线x=1分别与直线l和x轴交于A,B两点,求△AOB的面积的最小值.

解析(1)对f(x)求导,得f(x)=ex-x,

所以直线l的斜率为f(x0)=-x0,

由此得直线l的方程为y-=(-x0)(x-x0),

即y=(-x0)x+(1-x0)+.

(2)依题意B(1,0),设A(1,y1),在切线方程中令x=1,

得y1=(-x0)+(1-x0)+=(2-x0).

所以S△AOB=|OB|·|y1|=

=,x0∈[-1,1].

设g(x)=,x∈[-1,1],

则g(x)=-+=-(x-1)(ex-1).

令g(x)=0,得x=0或x=1.

当x变化时,g(x),g(x)的变化情况如下表:

x-1(-1,0)0(0,1)1

g(x)-0+

g(x)↘1↗

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所以g(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,

所以g(x)min=g(0)=1,

从而△AOB的面积的最小值为1.

思路分析(1)利用导数的几何意义求切线方程;(2)结合点A,B的坐标,用x0表示三角形AOB的面积,构

造函数,利用导数求△AOB面积的最小值.

方法点拨利用题目中的条件构造函数,再利用导数研究函数的单调性和最值.

2

2.(2018北京东城二模,19)已知函数f(x)=xsinx+cosx+ax,x∈[-π,π].

(1)当a=0时,求f(x)的单调区间;

(2)当a0时,讨论f(x)的零点个数.

解析(1)当a=0时,f(x)=xsinx+cosx,x∈[-π,π],

f(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx.

当x在区间[-π,π]上变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:

-

x0π

π-

f

(x+0-0+0-

)

极大