【八年级下册】三角形的证明与计算综合问题【培优专题卷】.docxVIP

三角形的证明与计算综合（重难点培优）

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一．解答题（共20小题）

1．阅读下列材料，完成相应任务．

数学活动课上，老师提出了如下问题：

如图1，已知△ABC中，AD是BC边上的中线．求证：AB+AC＞2AD．

智慧小组的证法如下：

证明：如图2，延长AD至E，使DE＝AD，

∵AD是BC边上的中线

∴BD＝CD

在△BDE和△CDA中

BD=CD∠BDE=∠CDA

∴△BDE≌△CDA（依据一）

∴BE＝CA

在△ABE中，AB+BE＞AE（依据二）

∴AB+AC＞2AD．

任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：

依据1：；

依据2：．

归纳总结：上述方法是通过延长中线AD，使DE＝AD，构造了一对全等三角形，将AB，AC，AD转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．

任务二：如图3，AD是BC边上的中线，AB＝3，AC＝4，则AD的取值范围是；

任务三：如图4，在图3的基础上，分别以AB和AC为边作等腰直角三角形，在Rt△ABE中，∠BAE＝90°，AB＝AE；Rt△ACF中，∠CAF＝90°，AC＝AF．连接EF．试探究EF与AD的数量关系，并说明理由．

2．如图，点D，E分别在等边△ABC的边AB，BC上，且BD＝CE，CD，AE交于点F．

（1）如图1，求∠AFD的度数；

（2）如图2，若D，E，M，N分别是△ABC各边上的三等分点，BM，CD交于Q．若△ABC的面积为S，请用S表示四边形ANQF的面积；

（3）如图3，延长CD到点P，使∠BPD＝30°，设AF＝a，CF＝b，请用含a，b的式子表示PC长，并说明理由．

3．如图，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，D为BC的中点，点E、F、G分别为线段AD、AB、BC上的一点．△EFG以E为直角顶点的等腰直角三角形，AB＝8．连结CE．

（1）当G与点D重合时，求AE的长．

（2）当DE＝2时，求△AEF的面积．

（3）①比较△BGF与△CGE的面积大小关系，并说明理由．

②当△BGF的面积为6时，求BG的长．

4．如图，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．

（1）请用t的代数式表示BP和BQ的长度：BP＝，BQ＝．

（2）若点Q在到达点A后继续沿三角形的边长向点C移动，同时点P也在继续移动，请问在点Q从点A到点C的运动过程中，t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成4：5两部分？

（3）若P、Q两点都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问在它们第一次相遇前，t为何值时，点P、Q能与△ABC的一个顶点构成等边三角形？

5．在△ABC中，∠ABC为锐角，点M为射线AB上一动点，连接CM，以点C为直角顶点，以CM为直角边在CM右侧作等腰直角三角形CMN，连接NB．

（1）如图1，图2，若△ABC为等腰直角三角形，

问题初现：①当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，求证：△ACM≌△BCN；

深入探究：②当点M在线段AB的延长线上时，判断线段BN，AM之间的位置关系，并说明理由；

（2）如图3，∠ACB≠90°，若当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，MP⊥CM交线段BN于点P，且∠CBA＝45°，BC＝42，当BP有最大值时，求BM的长．

6．在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点A、B两点作过点C的直线m的垂线，垂足分别为点D、E．

（1）如图1，当AC＝CB，点A、B在直线m的同侧时，猜想线段DE，AD和BE三条线段有怎样的数量关系？请直接写出你的结论：；

（2）如图2，当AC＝CB，点A、B在直线m的异侧时，请问（1）中有关于线段DE、AD和BE三条线段的数量关系的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请给出正确的结论，并说明理由．

（3）当AC＝16cm，CB＝30cm，点A、B在直线m的同侧时，一动点M以每秒2cm的速度从A点出发沿A→C→B路径向终点B运动，同时另一动点N以每秒3cm的速度从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动．在运动过程中，分别过点M和点N作MP⊥m于P，NQ⊥m于Q．设运动时间为t秒，当t为何值时，△MPC与△NQC全等？

7．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单