第62讲重难点突破02 利用传统方法求线线角、线面角、二面角与距离 （九大题型）（解析版）.docx

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重难点突破02利用传统方法求线线角、线面角、二面角与距离

目录TOC\o1-2\h\z\u

01方法技巧与总结 2

02题型归纳与总结 4

题型一：平移法求异面直线所成角 4

题型二：定义法求线面角 7

题型三：等体积法法求线面角 12

题型四：定义法求二面角 17

题型五：三垂线法求二面角 24

题型六：射影面积法求二面角 33

题型七：垂面法求二面角 38

题型八：补棱法求二面角 42

题型九：距离问题 48

03过关测试 54

技巧一：二面角的求法

法一：定义法

在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）．

法二：三垂线法

在面或面内找一合适的点，作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角．如图1，具体步骤：

①找点做面的垂线；即过点，作于；

②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过作于，连接；

③计算：为二面角的平面角，在中解三角形．

图1图2图3

法三：射影面积法

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（，如图2）求出二面角的大小；

法四：补棱法

当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题．

法五：垂面法

由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．

技巧二：线与线的夹角

（1）位置关系的分类：

（2）异面直线所成的角

①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）．

②范围：

=3\*GB3③求法：平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．

技巧三：线与面的夹角

①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．

②范围：

=3\*GB3③求法：

常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）；

题型一：平移法求异面直线所成角

【典例1-1】在正三棱柱中，，，分别是中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设，取的中点，的中点，的中点,

易知,,

所以异面直线与所成角为或其补角.

由正三棱柱的几何特征可得,，.

,

,

，，

,

在中，由余弦定理可得,

所以直线与所成角的余弦值为.

故选:A.

【典例1-2】如图，已知正三棱柱为的中点，则与所成角的余弦值为（）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【解析】如图，取的中点，连接、，易知，

所以异面直线与所成角就是直线与直线所成的角，即（或其补角），

由题意可知正三棱柱的所有棱长都相等，

可设三棱柱的棱长都为，则，，，

因为，所以为直角三角形，

所以

即异面直线与所成角的余弦值为.

故选：.

【变式1-1】在正四棱台中，，点为底面的中心，则异面直线与所成的角为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图所示，连接，则，连接，因为，

所以．易知四边形为平行四边形，则，且，

所以或其补角为异面直线与所成的角，

同理知，又，所以为等边三角形，所以，

故选：C．

【变式1-2】如图，在正四面体ABCD中．点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】过点E作直线BD的平行线，交AB于点F，连接CF，

则为异面直线EC与BD所成角或其补角，

不妨设，易得，

，

在中，由余弦定理得，

所以异面直线EC与BD所成角的余弦值为．

故选：A．

【变式1-3】已知空间四边形中，、分别是、的中点，若，，，则与所成的角为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设为的中点，连接，，又、分别是、的中点，

所以、分别为、的中线，

所以且，且，

所以与所成的角即为与所成的角，

又，所以，所以为直角三角形，且，

所以，所以，

即与所成的角为.

故选：C

题型二