第64讲拔高点突破01 立体几何中的截面、交线问题（九大题型）（解析版）.docx

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拔高点突破01立体几何中的截面、交线问题

目录TOC\o1-2\h\z\u

01方法技巧与总结 2

02题型归纳与总结 2

题型一：截面作图 2

题型二：截面图形的形状、面积及周长问题 5

题型三：截面切割几何体的体积问题 8

题型四：球与截面问题 11

题型五：截面图形的个数问题 13

题型六：平面截圆锥问题 16

题型七：截面图形有关面积、长度及周长范围与最值问题 20

题型八：截面有关的空间角问题 27

题型九：交线问题 30

03过关测试 35

解决立体几何截面问题的解题策略．

1、坐标法

所谓坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，为解决立体几何问题增添了一种代数计算方法．

2、基底法

所谓基底法是不需要建立空间直角坐标系，而是利用平面向量及空间向量基本定理作为依托，其理论依据是：若四点E、F、G、H共面，为空间任意点，则有：

结论1：若与不共线，那么；

结论2：．

3、几何法

从几何视角人手，借助立体几何中的线线平行、线面平行、面面平行的性质与判定定理以及平面几何相关定理、结论，通过论证，精准找到该截面与相关线、面的交点位置、依次连接这些点，从而得到过三点的完整截面，再依据题意完成所求解答或证明．

题型一：截面作图

【典例1-1】（2024·河南·三模）如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，分别为的中点.

在答题卡的图中作出平面截四棱锥所得的截面，写出作法（不需说明理由）；

【解析】所作截面如图1所示.

作法：延长交于点，连接交于，连接，

延长交于点，连接交于，连接，

则截面是五边形.

【典例1-2】如图所示，已知正方体，过点作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角皆相等，试找出满足条件的一个截面．

??

【解析】因为过同一顶点的三条棱所成的角相等的面即为与12条棱所成的角相等的面，

所以过直线的三个截面．

【变式1-1】如图，已知正方体的棱长为1，分别是线段上靠近的三等分点．过点作该正方体的截面，试求截面图形的周长和面积．

【解析】在棱长为1的正方体中，延长交直线于，延长交延长线于，

连接交于，交于，连接，则五边形是过点的该正方体的截面，

平面平面，平面平面，平面平面，

则，，

同理，，因此AE=AF=32，

，，

，

所以截面周长为；

等腰底边上的高为，

则的面积，

显然∽，，同理，

所以截面面积.

【变式1-2】如图，正四面体ABCD中，P是AB上一点，，，，R为CD中点，截面PRQ与CB交于点S．确定S的位置．

【解析】由题意知，，

因截面，则，共面，进而应有，

记，有，

由此得，，，

解得，，．

于是，点S是BC边上的五等分点，即．

题型二：截面图形的形状、面积及周长问题

【典例2-1】（2024·全国·模拟预测）已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（????）

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形

【答案】C

【解析】如图，设，分别延长交于点，此时，

连接交于，连接，

设平面与平面的交线为，则，

因为平面平面，平面平面，平面平面，

所以，设，则，

此时，故，连接，

所以五边形为所求截面图形，

故选：C．

【典例2-2】（2024·高三·江西·开学考试）已知一正方体木块的棱长为4，点在棱上，且.现过三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

如图，在上取一点，使得，连接，

因为且，所以四边形为平行四边形，

所以与相交于且为的中点，

又在上，所以与相交于，且O平分，，

所以四点四点共面且四边形为平行四边形，

所以过三点的截面是平行四边形，

，

，

，

故截面面积为.

故选：A.

【变式2-1】（2024·江西·模拟预测）已知在长方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，则平面截长方体所得的截面形状为（????）

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形

【答案】C

【解析】如图连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点，

过点作交于点，连接，

则五边形即为平面截该长方体所得的截面多边形.

其中因为，，，

所以，则，所以，

又，所以，所以，

则，

显然，则，所以.

故选：C

【变式2-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在棱长为2的正四面体中，，分别为棱，的中点，为线段的中点，球的表面与线段相切于点，则球被正四面体表面截得的截面周长为．

【答案】

【解析】

在棱长为2的正四面体中，连接，过作于，如图，

由分别为棱的中点，得，

而平面，

则平面，又平面，于是平面平面，

而