抛物线的简单几何性质课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.pptx

3.3.2抛物线的简单几何性质

第三章圆锥曲线的方程

学习目标

1.掌握抛物线的简单几何性质.

2.归纳、对比四种方程所表示的抛物线的几何性质的异同.

3.掌握直线与抛物线位置关系的判断。

学习目标

1.范围

.

M(x,y)

抛物线是无界曲线．

一、抛物线的几何性质

2.对称性

我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．

注：抛物线只有一条对称轴，没有对称中心．

3.顶点

抛物线和它轴的交点叫做抛物线的顶点.

抛物线的顶点就是原点，坐标是(0,0)．

4.离心率

抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离d的比，叫做抛物线的离心率.

用e表示，e=1．

d

F

A

B

y2=2px

2p

过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径，

通径的长|AB|=2p

2p越大，抛物线张口越大.

连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。

焦半径公式：

由通径的定义我们还可以看出，p刻画了抛物线开口的大小，p值越大，开口越宽；p值越小，开口越窄．

6.焦半径

5.通径

F

P

(x0,y0)

图形

方程

焦点

准线

范围

顶点

对称轴

e

y2=2px

（p0）

y2=-2px

（p0）

x2=2py

（p0）

x2=-2py

（p0）

x≥0

y∈R

x≤0

y∈R

y≥0

x∈R

y≤0

x∈R

(0,0)

x轴

y轴

1

四种抛物线的几何性质的对比

例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），求它的标准方程.

解:

注意当焦点在x轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m≠0),

当焦点在y轴上,开口方向不定时,设为x2=2my(m≠0),可避免讨论.

练习1.设抛物线y=mx2(m≠0)的准线与直线y=1的距离为3,求抛物线的标准方程.

（4）垂直关系：

M

关于过焦点弦还有一条性质,请大家思考:

(课本第136页例5)

x

y

O

A

B

D

F

l

例4.斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求焦点弦长AB的长．

C

D

直线与圆锥曲线的有关综合问题,我们已经接触了一些,在我们看来就是三句话的实践:（方程组法）（韦达定理法）

(一联立方程组;

(二))设而不求,根与系数的关系（韦达定理）;

(三)大胆计算分析,数形结合.

O

直线与抛物线位置关系种类

1、相离(0个交点)；

2、相切(1个交点)；

3、相交(1个交点,2个交点)

三、直线与抛物线的位置关系的判断方法探讨

将直线方程和抛物线方程联立，消元转化为关于x（或y的）

方程组：

Ax2+Bx+C=0（或Ay2+By+C=0），其中A，B，C为常数.

若A=0，则直线和抛物线相交（直线与抛物线的对称轴平行），有一个交点；

若A≠0，计算判别式Δ＝B2－4AC：

若Δ＞0，则直线和抛物线相交（有两个交点）；

若Δ=0，则直线和抛物线相切（有一个交点）；

若Δ＜0，则直线和抛物线相离（无交点）.

直线和抛物线的位置关系有三种：相交、相切、相离

O

例1

四、一些与抛物线有关的问题

（5）阿基米德三角形

课堂小结

作业：课本138页习题3.3第6题

课本146页复习参考题3第10、11、12题