1.4 线线角，线面角及其计算.doc

1.4线线角，线面角及其计算

本节将讨论异面直线所成角与线面角的计算，这两个角是高考选择题中常考的内容之一，除了向量法外，还需更加注意几何方法的计算，毕竟后者往往运算量较小，易于完成解答.因此，本节特别重视展示利用几何法解决上述计算，希望读者注意.我们需要尽可能的多掌握计算空间角的方法，避免单一的向量法所带来的的计算量.

一．基本原理

1.异面直线所成角

①定义：设是异面直线，经过空间任一点，作直线，把直线所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角)，其范围为.特别地，如果两条异面直线所成的角是直角，那么两条异面直线互相垂直，记作．该定义就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把空间图形问题转化为平面图形问题.

2.直线与平面所成角

（1）定义：如图，一条直线和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足；过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影；平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．

（2）范围：直线与平面所成的角的取值范围是.

3.向量法计算公式

3.1异面直线所成角

设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法：

①②

3.2直线和平面所成角

设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则①；②.

注意：用向量法计算线面角的时候，平面法向量与直线方向向量所成角与线面角互为余角或者为线面角与直角的和.

为了方便计算异面直线所成角，下面介绍空间余弦定理，它在四面体的相关计算中威力巨大.

4.空间余弦定理：如图1，在空间四边形中，连接，设异面直线与的所成角为，那么同理，异面直线与的所成角的余弦值为：；异面直线与的所成角的余弦值为

图1图2

二．典例分析

例1.如图2，在空间四边形中，，且与所成的角为，设分别为的中点，求：与所成角的大小.

例2.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为()

例3.（2022届武汉九月调考）空间四面体中，，，直线与所成角为，则该四面体的体积为_________.

例4．（2022新高考1卷）已知正方体，则

．直线与所成的角为

．直线与所成的角为

．直线与平面所成的角为

．直线与平面所成的角为

下面开始，我将介绍线面角计算的重要方法：平移斜线法以及构造垂面法，由于线面角定义中需要过斜线上一点向平面作垂线，即出现线面垂直，这个过程当然可以通过面面垂直的性质来实现.

如图，在四棱锥中，面，，，，，.

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）求直线与面所成角的正弦值．

例6.（2022全国甲卷）在四棱锥中，底面，，，

，，，.

（1）证明：；

（2）求与平面所成的角的正弦值．

三．习题演练

习题1.（2021年高考全国乙卷）在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（）

A.B.C.D.

习题2（2015年高考浙江卷）如图，三棱锥中，，，点分别是的中点，则异面直线是所成角的余弦值为______.

习题3（2017年高考全国2卷）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）

A.B.C.D.

习题4.如图，在正方体中，

（1）求与平面所成的角；

（2）求与平面所成的角.

习题5．已知长方体中，，，则直线和平面所成角的正弦值为_________．

习题6.如图，四面体中，，，，为的中点．

（1）证明：平面平面；

（2）设，，点在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．