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模型思想在立体几何中的应用

在立体几何问题中，有一些看似不规则的几何体，如正四面体等，在处理它们时候，我们可以将其补成一个正方体，这样的话，一些位置关系，角度关系的计算或者证明就转化成相对规则，熟悉的正方体计算，从而有效解决问题，这就是补形法.还有一些问题，我们在处理时需要利用等效的思想，例如圆锥和正棱锥等效，墙角四面体的外接球与长方体的关系等，这样的话，就可以利用性质相对较好的那个几何体来解决问题，这就是“等效思想”.本文就简要梳理一些重要的补形与等效案例，这些思想的实质就是利用熟悉的模型来解题，将不熟悉的情形通过分析转化为熟悉的模型.

一．基本原理

1.将正四面体放在正方体中，主要结论：

（1）正四面体的每一个面是正三角形，反之亦然.

（2）正四面体是三组对棱都垂直的等面四面体.

（3）正四面体的对棱中点的连线都互相垂直且相等，等于棱长的倍，反之亦真.

（4）正四面体的外接球与正方体外接球相同.

例1.已知四面体的所有棱长均为，分别为棱的中点，为棱上异于的动点.有下列结论：

①线段的长度为；

②若点为线段上的动点，则无论点与如何运动，直线与直线都是异面直线；

③的余弦值的取值范围为；

④周长的最小值为.

其中正确结论的个数为

B.C.D.

解析：如图，由于是一个正四面体，所以可以通过正方体来解决该问题.

对于①，可根据分别为正方体前后两个面的中心可得出结论：正确

对于②，取为的中点，取为的中点，此时与相交：错误

对于③，计算可得，由逼近思想可作出判断：正确

，，又有

故

对于④，如图将等边三角形与铺平，放在同一平面上，故有，当且仅当为中点时取最小值

故在正方体中，故周长的最小值为，故④对

例2.已知是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角为__________.

解析：由三条射线的构成规律，联想我们已知的几何体，发现正方体满足这个题干，从一个顶点出发的三条面对角线两两夹角均为，如下图所示，这样的话，利用空间向量可算得最终结果为.

2．对棱相等的四面体

四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得：而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．

例3．在四面体中，已知，，记四面体外接球的球心到平面的距离为，四面体内切球的球心到点的距离为，则的值为______．

解析：由题意可将四面体放在一个长方体中，如图所示，设长宽高为，

则，解得，设外接球的半径为，则，在中，，则，

设的外接圆半径为，则，则，所以，可得，

设四面体内切球的半径为，因为四面体的各个面都相等，且，则，解得，

因为，四面体的各个面都相等，则外接球的球心到各个面的距离相等，所以外接球的球心和内切球的球心重合，所以.故.

三．习题演练

习题1.如图，已知四面体为正四面体，，分别是中点.若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为.

B.C.D.

习题2.在四棱锥中，，且

，，，若该四棱锥存在半径为1的内切球，则

_____.

参考答案

习题1.解析：补成正方体，如图.，截面为平行四边形，可得，又，且，可得，当且仅当时取等号，选A.

习题2.如图，，且,可以在四棱锥上截取一个正四棱锥，此时四边形为正方形，且边长为，，，，设，，，，且，，，为中点，，，又，

平面，，，，又因为四棱锥存在半径为的内切球，

，

即，即，，解得，因为四棱锥存在半径为的内切球，直径为，，而，故，故答案为：

点评：本题就是利用正四棱锥模型来构造，因为正四棱锥满足从顶点出发的四条射线角度均为.