高三数学专题18 解析几何综合（解析版）.doc

专题18解析几何综合

1．（2020届湖南省怀化市高三第一次模拟）若抛物线的焦点为，是坐标原点，为抛物线上的一点，向量与轴正方向的夹角为60°，且的面积为.

（1）求抛物线的方程；

（2）若抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，求当取得最大值时，直线的方程.

【答案】(1)；(2)或

【解析】

(1))设的坐标为，(如图)

因为向量与轴正方向的夹角为60°,，

所以，

根据抛物线定义得：，

即，解得：即，

则，

解得：即抛物线的方程为：；

(2)设的坐标为，，则

，

因为点在抛物线：上，即有：，

所以，

，

因此

当且仅当即时等号成立，

此时，，

所以直线的方程为：

或

2．（2020届陕西省汉中市高三质检）如图，椭圆的长轴长为，点、、为椭圆上的三个点，为椭圆的右端点，过中心，且，．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设、是椭圆上位于直线同侧的两个动点（异于、），且满足，试讨论直线与直线斜率之间的关系，并求证直线的斜率为定值.

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

（1）利用题中条件先得出的值，然后利用条件，结合椭圆的对称性得到点的坐标，然后将点的坐标代入椭圆方程求出的值，从而确定椭圆的方程；（2）将条件

得到直线与的斜率直线的关系（互为相反数），然后设直线的方程为，将此直线的方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，注意到直线与的斜率之间的关系得到点的坐标，最后再用斜率公式证明直线的斜率为定值.

（1），，

又是等腰三角形，所以，

把点代入椭圆方程，求得，

所以椭圆方程为；

（2）由题易得直线、斜率均存在，

又，所以，

设直线代入椭圆方程，

化简得，

其一解为，另一解为，

可求，

用代入得，，

为定值.

3．（2020届四川省泸州市高三二诊）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P在C上，若PF⊥x轴，且△POF（O为坐标原点）的面积为1.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若C上的两动点A，B（A，B在x轴异侧）满足，且|FA|+|FB|＝|AB|+2，求|AB|的值.

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）由题知P点的横坐标为，代入抛物线方程得，y2＝2p，解得y＝p或﹣p，

所以P（，﹣p）或（，p），△POF面积为1，解得p＝2，

所以抛物线C方程为y2＝4x，S△OFP.

（2）设直线AB方程为x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2）

联立抛物线方程得y2﹣2my﹣2n＝0，y1+y2＝2m，y1y2＝﹣2n，

|AB|①

因为|FA|+|FB|＝|AB|+2，所以x1+1+x2+1＝|AB|+2，即x1+x2＝|AB|，

my1+n+my2+n＝|AB|，m（y1+y2）+2n＝|AB|，2m2+2n＝|AB|②

由①②得2m2+2n，化简得m2＝n2﹣2n，

因为?32，所以x1x2+y1y2＝32，所以y1y2＝32，

（y1y2）2+16y1y2﹣16×32＝0，（﹣2n）2+16（﹣2n）﹣16×32＝0，n2﹣8n﹣128＝0，

解得n＝﹣8（舍）或16，

所以|AB|＝2m2+2n＝2（n2﹣2n）+2n＝2n2﹣2n＝480.

4．（2020届陕西省咸阳市高三第二次模拟）已知椭圆过点，且其离心率为，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别相交于，两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在圆心在原点的定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）（2）存在；定圆

【解析】

（1）椭圆经过点，∴，又∵，解之得，.

所以椭圆的方程为；

（2）当直线的斜率不存在时，由对称性，设，.

∵，在椭圆上，∴，∴.

∴到直线的距离为，所以.

当直线的斜率存在时，设的方程为，

由得.

设，，则，.

∵，∴，

∴.

∴，即.

∴到直线的距离为，

故存在定圆与直线总相切.

5．（2020届山西省太原市高三模拟）椭圆的焦点为和，过的直线交于两点，过作与轴垂直的直线，又知点，直线记为，与交于点．设，已知当时，．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求证：无论如何变化，点的横坐标是定值，并求出这个定值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）定值为3

【解析】

（Ⅰ）设椭圆的方程为，其中，由已知，当时，不妨设，

则，又，所以，由椭圆的定义得，

从而，此时点A在y轴上，不妨设，

从而由已知条件可得，解得，

故，代入椭圆方程，解得，所以，

故所求椭圆方程为.

（Ⅱ）设直线AB的方程为，，将代入椭圆

中，得，即，

，所以，

由已知，，直线BH的斜率，

所以直线BH的方程为，而直线的方程为，代入，

解得，故点的横坐标是定值3.

6．（2020届江西省九江市高三第二次模拟）过点的动直线l与y轴交于点，过点T且垂直于l的直线与直线相交于点M.

（1）求M的轨迹方程；

（2）设M位于第一象限，以AM为直径的圆