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材料力学2-第二章拉伸、压缩与剪切

第二章拉伸、压缩与剪切

§2－1拉伸与压缩的概念

等直杆的两端作用一对大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的力，这种变形叫轴向拉伸或压缩。

一、工程实例

悬索桥，其拉杆为典型受拉杆件；桁架，其杆件受拉或受压。

二、受力特点

杆件受到的外力或其合力的作用线沿杆件轴线。

三、变形特点

发生轴线方向的伸长或缩短。

§2－2拉伸或压缩时横截面上的内力和应力

一、轴力

（1）对于轴向拉伸（压缩）杆件，用截面法求横截面m-m上的内力。

（2）轴力正负规定：拉力为正（方向背离杆件截面）；压力为负（方向指向杆件截面）。

二、轴力图

（1）轴力图：轴力沿轴线方向变化的图形，横坐标表示横截面位置，纵坐标表示轴力的大小和方向。

（2）轴力图作用：通过它可以快速而准确地判断出最大内力值及其作用截面所在位置，这样的截面称为危险截面。轴向拉（压）变形中的内力图称为轴力图，表示轴力沿杆件轴线方向变化的情况。

（3）作下图所示杆件的轴力图

三、横截面上的应力

（1）平面假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线，只是各横截面间发生沿杆轴的相对平移。

通过对称性原理，平面假设可得以证明。

（2）由平面假设可得，两截面间所有纵向纤维变形相同，且横截面上有正应力无切应力。

（3）由材料的均匀连续性假设，可知所有纵向纤维的力学性能相同。所以，轴向拉压时，横截面上只有正应力，且均匀分布。即NA

FdAAσσ==?A

N

F=

σ，（2-1）为拉（压）杆横截面上的正应力计算公式。正应力的正负号与轴力正负号相同，拉应力为正，压应力为负。

当轴力与横截面的尺寸沿轴线变化时，只要变化缓慢，外力与轴线重合，外力与轴线重合，如左图，式（2-1）也可使用。这时某一横截面上的正应力为

()

()

xAxxNF=

）（σ（2-2）

例题

一等直杆受力情况如图a所示，试作杆的轴力图。解：（1）先求约束力

直杆受力如图b所示，由杆的平衡方程0F=∑x得

()kN

kNRAF=+-（2）求杆中各段轴力

AB段：沿任意截面1-1将杆截开，取左段为研究对象，1-1截面上的轴力

为N1F，设N1F为正，由左段的平衡方程0F=∑x得：

σ

()xσ

0FFRAN1=-,N1RAFF20kN==

BC段：沿任意截面2-2将杆截开，取左段为研究对象，设轴力N2F为正，

由左段的平衡方程0F=∑x得：N2RAFFkN0-+=50，N2F0kN=-3结果为负，说明N2F的指向与所设方向相反，实为压力。

CD段：沿截面3-3截开，取右端为研究对象，3-3截面上的轴力为N3F，设为正，由右段的平衡方程0F=∑x得：N3-F4kN0-=0，N3F4kN=-0（压力）

（3）绘制轴力图

上题中每次求轴力时，都将未知轴力方向假定为拉力。并可得出结论：某横

截面上的轴力值等于所截取部分上所有外力的代数和。

§2－3拉伸或压缩时斜截面上的应力

一、应力计算公式

a)

c)

b)

d)

e)

f)

40

设杆件的横截面面积为A，现将杆沿斜截面k-k截开，与横截面成α角（规定逆时针为正）的斜截面面积α

αcosA

A=

。取左段为研究对象，横截面上的正应力为σ，则应力αP可分解成垂直于横截面上的正应力ασ和相切于横截面的切应力ατ。

ασα

σαα2coscos==pασαταα2sin2

1

sin==p

二、讨论

（1）特殊截面应力的特点

当0=α时，ασ达到最大值，且,maxσσα=,00=τ

铸铁拉伸的断裂面为横

截面

当45=α时，ατ达到最大值，且,2

max45σ

τσα=

=

低碳钢由于抗剪能力比抗拉能力差，拉伸过程中出现45o滑移

线

当90=α时，09090==τσ，表示在平行于轴线的纵向截面上没有应力。

（2）两个互相垂直截面的切应力关系

()o

o

osinsinsinααααστα

σστααττ++=

=

+=-

∴=-0

909022

29022

2

切应力互等定律：过受力物体任一点取互相垂直的两个截面上的切应力等值反

向。三、例题

图所示轴向受压等截面杆件，横截面面积A=400mm2，载荷F=50kN，试求横截面及斜截面m-m上的应力。

解：由题可得

横截面上的正应力N.PaMPaFAσ--?===-?=-?3

80650101251012540010

斜截面上的正应力oocoscos.MPaσσα==-?=-2205012550516斜截面上的切应力oosins