高考数学专练14 不等式选讲（解答题）（解析版） .docx

专练14不等式选讲（解答题）

1．（2020·福建省高三其他（理））已知

（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；

（2）若时，不等式恒成立.求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】(1)由得，又的解集为，

所以当时，不符合题意；当时，，则，无解；

当时，，则，解得.

综上所述，.

(2)因为在恒成立，

所以，即，所以.

即在恒成立.设

因为在时单调递增，则，

所以.

2．（2020·广东省高三二模（理））已知函数f（x）＝|2x+4|﹣|2x﹣2|．

（1）求不等式|f（x）|＜4的解集；

（2）记f（x）的最大值为m，设a，b，c＞0，且a+2b+3c＝m，证明：．

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】（1）f（x）＝|2x+4|﹣|2x﹣2|．

∵|f（x）|＜4，∴，

∴，

∴不等式的解集为；

（2）由（1）知，当时，

的最大值为6，

∴a+2b+3c＝m＝6，

∴

，

当且仅当a＝2b＝3c，即时等号成立，

∴．

3．（2020·深圳市宝安中学（集团）高三月考（理））已知定义在R上的函数的最小值为a.

（1）求a的值.

（2）若p，q，r为正实数，且，求证：.

【答案】(1)3；(2)证明见解析

【解析】(1)根据绝对值的三角不等式有.

当且仅当时取等号.故.

(2)证明：由(1)有.利用三元的柯西不等式有

.

故

4．（2020·深圳市福田区福田中学高三其他（理））设函数.

（1）解不等式；

（2）若对一切实数均成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)解集为{或};(2)的取值范围为.

【解析】（1）当时，，原不等式即为，

解得，∴；

当时，，原不等式即为，

解得，∴；

当时，，原不等式即为，

解得，∴；

综上，原不等式的解集为{或}.

（2）.

当时，等号成立.

∴的最小值为，要使成立，

∴，解得，∴的取值范围为.

5．（2020·宁夏回族自治区石嘴山市第一中学高三其他（文））已知函数，记不等式的解集为.

（1）求；

（2）设，证明：.

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】（1）解：，

由，解得，

故.

（2）证明：因为，所以，，

所以，

所以.

6．（2020·河南省高三月考（理））已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）由及，得，

得，

等价于，

所以

所以，

所以.

即不等式的解集是.

（2）函数

作出函数与函数的图象如下图所示：

易知函数的最低点是，函数可化为，其图象恒经过点，

数形结合易知，直线的斜率为.直线以为中心在直线l和之间转动时（含边界）满足题目条件，否则是不满足条件.

所以.

故不等式恒成立，实数m的取值范围为.

7．（2020·四川省高三三模（理））已知函数f（x）|2x﹣3|，g（x）|2x+a+b|.

（1）解不等式f（x）x2；

（2）当a0，b0时，若F（x）f（x）+g（x）的值域为[5，+∞），求证：.

【答案】（1）或；（2）见解析

【解析】（1）解：不等式f（x）x2化为|2x﹣3|x2，等价于或，

即为或，

解得x或x﹣3或1x，

所以不等式f（x）x2的解集为{x|x1或x﹣3}；

（2）证明：由a0，b0，

根据绝对值三角不等式可知F（x）f（x）+g（x）|2x﹣3|+|2x+a+b||3﹣2x|+|2x+a+b|

≥|3﹣2x+2x+a+b||a+b+3|a+b+3，

又F（x）f（x）+g（x）的值域为[5，+∞），

可得a+b+35，

即a+b2，

即（a+2）+（b+2）6，

故[（a+2）+（b+2）]（）

（2）（2+2），

当且仅当，即ab1时取等号时，

故.

8．（2020·宁夏回族自治区高三其他（理））已知函数f（x）＝|x|+|x﹣1|．

（1）若f（x）≥|m﹣1|恒成立，求实数m的最大值M；

（2）在（1）成立的条件下，正实数a，b满足a2+b2＝M，证明：a+b≥2ab．

【答案】（1）2（2）见解析

【解析】（1）由已知可得，

所以fmin（x）＝1，

所以只需|m﹣1|≤1，解得﹣1≤m﹣1≤1，

∴0≤m≤2，

所以实数m的最大值M＝2.

（2）法一：综合法

∵正实数a，b满足a2+b2＝2，

∴ab≤1

∴，当且仅当a＝b时取等号，①

又∴

∴，当且仅当a＝b时取等号，②

由①②得，

∴，

所以a+b≥2ab

法二：分析法因为a＞0，b＞0，

所以要证a+b≥2ab，只需证，

即证a2+b2+2ab≥4a2b2，

所以只要证2+2ab≥4a2b2，

即证2(ab)2-ab-1≤0，

即证,

因为2ab+1＞0，

所以只需证ab≤1，

下证ab≤1，

因为2＝a2+b2≥2ab，

所以ab≤1成立，

所以a+b≥2ab