数学课后集训：平面几何中的向量方法.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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课后集训

基础达标

1。在菱形ABCD中,下列关系式不正确的是(）

A。∥B。(+）⊥（+)

C。（—)·（-)=0D.·=·

解析：A正确；B、C正确，因为菱形两对角线互相垂直；D不正确，因为、夹角与、夹角互补。

答案：D

2。已知A（2，1)、B（3,2）、C（—1，4）,则△ABC是（）

A.等边三角形B。锐角三角形

C.直角三角形D。钝角三角形

解析：=(1，1),=（-3,3）.

∵·=0，∴AB⊥AC。

∴△ABC为直角三角形。

答案：C

3。在四边形ABCD中，若=，且||=｜|+1，·=0，则四边形ABCD是（）

A.矩形B。菱形C。梯形D.正方形

解析：由=得四边形为平行四边形,又因为·=0,所以AB⊥BC，且|｜≠|｜，所以选A.

答案：A

4。已知ABCD的顶点B(1，1），C（4，2），D(5，4),则顶点A的坐标为(）

A。(2，3）B.（3，3)C。(3,4)D。(1，3)

解析：设A（x,y）,则=,

即（1-x，1—y）=（-1，—2),

∴∴

答案：A

5。在△ABC中，若（+）·（—）=0，则△ABC为()

A。正三角形B.直角三角形C。等腰三角形D.无法确定

解析：由条件得（+）·=0，由平行四边形法则,取AB中点D，则+=2，

∴⊥,

∴△ABC为等腰三角形.

答案：C

6。如右图，在△ABC中，若｜｜=4，｜｜=5.｜｜=,则∠A=______________。

解析：∵=—，

∴,

即｜|2=｜|2—2｜||｜cos∠A+||2.

∴cos∠A=

=.∴∠A=60°.

答案：60°

综合运用

7。在矩形ABCD中，=，=，设=（a，0）,=（0，b),当⊥时，求得的值为（）

A。B.C。2D。3

解析：由条件可得

=+=+

=+=（）,

=—=—=（,—b)。

∵⊥，

∴·==0,

∴=。

答案：A

8.O为空间中一定点，动点P在A、B、C三点确定的平面内且满足（-)·（—）=0，则点P一定在过△ABC的__________的直线上()

A。外心B.内心C。重心D.垂心

解析：由条件⊥,∴P在CB的高线上，故选D。

答案:D

9。（2005湖南文,9)P是△ABC所在平面上一点，若·=·=·，则P是△ABC的（）

A.外心B.内心C。重心D.垂心

解析：由·=·得（—)·=0，即·=0，

∴P在CA的高线上，同理可得P也在AB的高线上,故P为△ABC的垂心。

答案：D

拓展探究

10.已知△ABC的面积为14cm

思路分析：考查灵活利用平面向量基本定理和向量共线的等价条件.可用基本定理和共线条件求出点P的位置后用比例关系计算面积，也可用坐标工具来进行上述运算.

解析:如右图,设=a，=b为一组基底，则=a+b，=a+b.

∵点A、P、E和D、P、C分别共线,

∴存在λ和μ，使

=λ=λa+λb，

=μ=μa+μb。

又∵=+=（+μ)a+μb,

∴解得

于是,△PAB的面积=14×=8（cm2）,

△PBC的面积=14×（1-）=2（cm2）。

故△APC的面积=14—8—2=4(cm2）。

备选习题

11.设I是△ABC的内心，当AB=AC=5,且BC=6时，=λ+μ,则λ=_____________,μ=_____________。

解析：如右图所示,设AI交BC于D点.∵AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，∴D为BC的中点，∴AD⊥BC，以BC为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，4），B（-3，0），C(3，0）,设I(0，y)则=（3，4），BI=(3，y），=（3，0）,由∠ABI=∠IBD得.

代入坐标解得y=，∴=（0,—）。

由条件（0，）=λ(—3,-4）+μ（6,0),

∴λ=,μ=。

答案：

12。证明正方形的对角线互相垂直平分。

证明：如右图，设一组基底=