数学课后集训：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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课后集训

基础达标

1.已知a=(1,）,b=（+1，—1)，则a与b的夹角为(）

A.B。C。D.

解析：a·b=+1+3—=4.

｜a｜=2,|b|=.

∴cos〈a，b〉=。

∴a、b夹角为,应选A。

答案：A

2。已知a=（2，—3)，b=(-5，8）,则（a+b)·b等于(）

A。-34B.34C。55

解析：（a+b）·b=a·b+｜b|2=2×（-5）+（—3）×8+=55.∴应选C。

答案：C

3.已知A（2a,0），B（0，1—a2),则｜|是（）

A.(1+a2）2B.1+a2C。1+a2D.

解析：=(-2a，1-a2），∴||=

=1+a2.

∴应选B。

答案：B

4。下列命题中正确命题的序号是（）

①++=0

②(a+b)·c=a·c+b·c③若a=(m,4）,｜a|=，则m=

④若的起点为A(2，1），终点为B（—2,4）,则与x轴正向所夹角的余弦值是

A。①②B.②③C.②④D。③④

解析：①++=+=2.∴①不正确,②显然正确，数量积对加法满足分配律。③若a=(m，4)｜a|=,则m2+16=23。∴m=±,③不正确.④=(—4，3），=(4,—3）.取x轴正向一单位向量i=(1,0）,则与x轴正向余弦值cosθ=.∴④正确.∴应选C。

答案：C

5。以A（2，5），B（5,2），C（10,7)为顶点的三角形的形状是（）

A。等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D。等腰三角形或直角三角形

解析：=（-3，3)，=（5，5）,·=—3×5+3×5=0,

∴∠B=90°,但｜|≠|｜。

∴△ABC为直角三角形.∴应选B。

答案：B

6。若a=(4,2）,则与a垂直的单位向量的坐标为________________。

解析：设所求向量为b=(x,y)，则b⊥a,且｜b|=1，所以

解得或

所以b=(,—)或（—,）

答案:（，—）或（—，）

综合运用

7.已知a=(sinθ，），b=(1，）,其中θ∈(π,)，则一定有（）

A.a∥bB。a⊥bC.a与b的夹角为45°D.|a|=|b|

解析：因为，a·b=sinθ+

=sinθ+=sinθ+|sinθ|，

∵θ∈(π，).∴sinθ＜0，|sinθ｜＝—sinθ。

∴a·b=0,∴a⊥b.

答案:B

8.若向量e1=(x，2x),e2=（-3x,2),且e1与e2的夹角为钝角,则x的取值范围为_____________。

解析：∵e1、e2的夹角为钝角，∴e1·e2＜0,即—3x2+4x＜0,解得：x＜0或x＞,∵当θ=π时，e1=λe2（λ＜0)即（x,2x）=λ(—3x，2)=（-3λx，2λ）,∴解得x=λ=-13.

∴当e1、e2夹角为钝角时，x的取值范围是（—∞,）∪（,0)∪（，+∞）.

答案：（—∞,）∪（,0）∪（，+∞)

9。若在△ABC中,=(-2，3）,=（1，m），且△ABC的一个内角为直角，求m的值。

解:若A=90°，则·=0.

即-2+3m=0,∴m=.

当B=90°时，=+=（2,-3）+(1，m）=(3，m-3）。

·=0.∴m=5。

当C=90°时，

·=（-1，—m)·（-3,3—m）

=m2—3m+3=0。

∵Δ=9—12＜0，∴∠C不可能为直角。

拓展探究

10。(2004湖北，19）如右图,在Rt△ABC中,已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角θ取何值时，·的值最大？并求出这个最大值。

思路分析:解答本题的关键是要结合图形，利用向量的三角形法则找出向量之间的关系；或建立适当的坐标系,利用向量的坐标形式来解答。

解法1：∵⊥，∴·=0，∵=-，=-,=-，∴·=(-)·(—）=·-·—·+·=-a2-·+·=-a2+·(-）=-a2+12·=—a2+a2cosθ。故

当cosθ=1,即θ=0(与方向相同）时，·最大，其最大值为0.

解法2：以直角顶点A为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴，建立如右图所示的平面直角坐标系。设｜AB｜=c，|AC|=