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北京市铁路第二中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设全集，集合，，则集合（????）

A． B．

C． D．

2．函数f(x)＝x是（????）

A．奇函数，且值域为（0，+∞）

B．奇函数，且值域为R

C．偶函数，且值域为（0，+∞）

D．偶函数，且值域为R

3．已知三条不同的直线和两个不同的平面，下列四个命题中正确的为（????）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

4．已知函数，则下列四个结论中正确的是（????）

A．函数的图象关于中心对称

B．函数的图象关于直线对称

C．函数在区间内有个零点

D．函数在区间上单调递增

5．已知，那么在下列不等式中，不成立的是

A． B． C． D．

6．设向量满足，，则的最小值为（????）

A． B． C．1 D．

7．已知过点P(2,2)的直线与圆相切,且与直线垂直,则（）

A． B．1 C．2 D．

8．设为等比数列，则“对于任意的”是“为递增数列”的（????）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

9．中国茶文化博大精深．茶水口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．已知室内的温度为，设茶水温度从开始，经过x分钟后的温度为．y与x的函数关系式近似表示为，那么在室温下，由此估计，刚泡好的茶水大约需要放置多少分钟才能达到最佳口感（参考数据：）（????）

A．8 B．7 C．6 D．5

10．如图，在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与不重合）．则下面结论中错误的是

A．存在点，使得平面∥平面

B．存在点，使得平面

C．分别是△在平面，平面上的正投影图形的面积，对任意点，

D．对任意点，△的面积都不等于

二、填空题

11．若直线:与直线:平行,则.

12．在的展开式中，常数项为.（用数字作答）

13．在等差数列{an}中，若a1+a2＝16，a5＝1，则a1＝；使得数列{an}前n项的和Sn取到最大值的n＝.

14．在矩形中，若，，且，则的值为，的值为.

15．颗粒物过滤效率是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为，其中表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：），表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点的横坐标表示第i种口罩第j次测试时的值，纵坐标表示第i种口罩第j次测试时的值．

该研究小组得到以下结论：

①在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高;

②在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高;

③在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高;

④在第3次和第4次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低．

其中，所有正确结论的序号是．

16．设函数给出下列四个结论：①对，，使得无解；②对，，使得有两解；③当时，，使得有解；④当时，，使得有三解.其中，所有正确结论的序号是.

三、解答题

17．在中，，，在从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求：

(1)的值；

(2)的面积.

条件①：；

条件②：；

条件③：.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18．如图，在三棱锥中，平面平面，△和△均是等腰直角三角形，，，，分别为，的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

19．近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试．某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：，，，并整理得到如下的频率分布直方图：

（I）求a的值；

（Ⅱ）该机构用分层抽样的方法，从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有X辆汽车行驶里程不小于8万公里，求X的分布列和数学期望；

（Ⅲ）设该机构调查的