第65讲拔高点突破02 立体几何中的动态、轨迹问题（六大题型）（原卷版）.docx

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拔高点突破02立体几何中的动态、轨迹问题

目录TOC\o1-2\h\z\u

01方法技巧与总结 2

02题型归纳与总结 2

题型一：由动点保持平行求轨迹 2

题型二：由动点保持垂直求轨迹 3

题型三：由动点保持等距（或定长）求轨迹 4

题型四：由动点保持等角（或定角）求轨迹 5

题型五：投影求轨迹 6

题型六：翻折与动点求轨迹 7

03过关测试 9

“动态”问题是高考立体几何中最具创新意识的题型，它融入了“动态”的点、线、面等元素，为传统的静态立体几何题增添了新的活力，使得题型更加新颖。同时，由于“动态”元素的引入，立体几何题变得更加多元化，它能够在立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立联系，实现这些知识点之间的灵活转化。

立体几何中的轨迹问题常用的五种方法总结：

1、定义法

2、交轨法

3、几何法

4、坐标法

5、向量法

题型一：由动点保持平行求轨迹

【典例1-1】（多选题）（2024·辽宁大连·二模）在棱长为2的正方体中，M为中点，N为四边形内一点（含边界），若平面，则下列结论正确的是（???）

A． B．三棱锥的体积为

C．点N的轨迹长度为 D．的取值范围为

【典例1-2】已知长方体，，，M是的中点，点P满足，其中，μ∈0,1，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是.

【变式1-1】（2024·四川遂宁·模拟预测）在直四棱柱中，所有棱长均为2，，为的中点，点在四边形内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（填序号）

①当点在线段上运动时，四面体的体积为定值

②若面，则的最小值为

③若的外心为M，则为定值2

④若，则点的轨迹长度为

题型二：由动点保持垂直求轨迹

【典例2-1】（2024·江西宜春·模拟预测）如图，在四面体中，和均是边长为6的等边三角形，，则四面体外接球的表面积为；点E是线段AD的中点，点F在四面体的外接球上运动，且始终保持EF⊥AC，则点F的轨迹的长度为.

【典例2-2】（2024·山西·二模）已知正三棱锥的底面边长为6，体积为，动点在棱锥侧面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的长度为.

【变式2-1】（多选题）（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知正方体的棱长为2，棱的中点为，过点作正方体的截面，且，若点在截面内运动（包含边界），则（????）

A．当最大时，与所成的角为

B．三棱锥的体积为定值

C．若，则点的轨迹长度为

D．若平面，则的最小值为

【变式2-2】（多选题）（2024·湖南怀化·二模）在三棱锥中，平面，点是三角形内的动点（含边界），，则下列结论正确的是（????）

A．与平面所成角的大小为

B．三棱锥的体积最大值是2

C．点的轨迹长度是

D．异面直线与所成角的余弦值范围是

题型三：由动点保持等距（或定长）求轨迹

【典例3-1】（多选题）（2024·江西九江·三模）如图，正方体的棱长为1，点在截面内，且，则（????）

A．三棱锥的体积为 B．线段的长为

C．点的轨迹长为 D．的最大值为

【典例3-2】（2024·四川宜宾·三模）在直三棱柱中，，，点P在四边形内（含边界）运动，当时，点P的轨迹长度为，则该三棱柱的表面积为（????）

A．4 B． C． D．

【变式3-1】（2024·四川南充·二模）三棱锥中，，，为内部及边界上的动点，，则点的轨迹长度为（????）

A． B． C． D．

【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知正方体的棱长为4，点平面，且，则点M的轨迹的长度为（????）

A． B． C． D．

题型四：由动点保持等角（或定角）求轨迹

【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）如图，正方体的棱长为，点是平面内的动点，，分别为的中点，若直线与直线所成的角为，且，则动点的轨迹所围成的图形的面积为．

??

【典例4-2】（多选题）（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（????）

A．当P在平面上运动时，三棱锥的体积为定值

B．当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是

C．若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足时，长度的最小值是

D．使直线AP与平面ABCD所成的角为的点P的轨迹长度为

【变式4-1】（多选题）（2024·广东梅州·二模）如图，平面，，M为线段AB的中点，直线MN与平面的所成角大小为30°，点P为平面内的动点，则（????）

A．以为球心，半径为2的球面在平面上的截痕长为

B．若P到点M和点N的距离相等，则点P的轨迹是一条直线

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