二、解答重难题型突破++题型6　几何综合探究问题++++课件+2025年九年级中考数学总复习人教版（山东）.pptxVIP

题型6几何综合探究问题;几何探究问题的解题思路:

1.找特征或模型:如中点、特殊角、折叠、相似结构、三线合一、三角形面积等;

2.找思路:借助问与问之间的联系,寻找条件和思路;

3.照搬:照搬前一问的方法和思路解决问题,如照搬字母、照搬辅助线、照搬全等、照搬相似等;

4.找结构:寻找不变的结构,利用不变结构的特征解决问题;常见的不变结构及方法:有直角,作垂线,找全等或相似;有中点,作倍长,通过全等转移边和角;有平行,找相似,转比例等.;类型1动点、动线类探究

【例1】(2024·烟台招远市模拟)已知:等边△ABC中,点O是边AC,BC的垂直平分线的交点,M,N分别在直线AC,BC上,且∠MON=60°.

(1)如图1,当CM=CN时,M,N分别在边AC,BC上时,请写出AM,CN,MN三者之间的数量关系;

(2)如图2,当CM≠CN时,M,N分别在边AC,BC上时,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请你加以证明;若不成立,请说明理由;

(3)如图3,当点M在边AC上,点N在BC的延长线上时,

请直接写出线段AM,CN,MN三者之间的数量关系.;?;?;?;?;∴△NOM≌△NOM(SAS),

∴MN=MN,

∵MN=AM-AN=AM-CN,

∴MN=AM-CN.;?;?;【变式训练】

1.(2024·临沂临沭县二模)综合与实践

【提出问题】

在一次数学活动课上,老师提出这样一个问题:如图,正方形ABCD中,点E是射线BC上的一个动点,过点E作EF⊥AE交正方形的外角∠DCL的平分线于点F.求证:AE=EF.

(1)如图1,当点E在边BC上时,小明的证明思路如下:

在BA上截取BP=BE,连接EP.

则易得AP=EC,∠APE=∠ECF=135°,.?

∴△APE≌△ECF.∴AE=EF.

补全小明的证明思路,横线处应填.?;【深入探究】

(2)如图2,在(1)基础上,过点F作FG∥AE交直线CD于点G.以CG为斜边向右作等腰直角三角形HCG,点H在射线CF上.求证:FG=EF;

【拓展应用】

(3)过点F作FG∥AE交直线CD于点G.以CG为斜边向右作等腰直角三角形HCG,点H在射线CF上.当AB=5,CE=2时,请求出线段DG的长.;【解析】(1)在BA上截取BP=BE,连接EP.

∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠B=90°,

∵BP=BE,∴AP=EC,∠BPE=∠BEP=45°,

∴∠APE=∠ECF=135°,

∵AE⊥EF,

∴∠BAE+∠AEB=90°,∠AEB+∠FEC=90°,∴∠FEC=∠EAP.

∴△APE≌△ECF(ASA).

∴AE=EF.

答案:∠FEC=∠EAP;(2)在GH上截取HQ=HF,连接FQ.

则∠HQF=∠HFQ=45°,

∵△HCG是等腰直角三角形,

∴HG=HC,则QG=FC,∠GQF=180°-45°=135°=∠FCE,∠QGF=90°-∠GFH=

∠CFE,

∴△QGF≌△CFE(ASA),∴FG=EF;;?;?;?;【解析】(1)∵点O是BC的中点,

∴OB=OC,

∵将线段OB绕点O旋转至OD,

∴OD=OB,∴OB=OD=OC,

∴B,C,D在以O为圆心的圆上,BC为直径,

∴∠BDC=90°;;?;?;?;类型2图形折叠、旋转类探究

【例2】(2024·聊城东昌府区三模)【问题情境】

将正方形ABCD和等腰直角三角形EFG按图1方式放置,使点E,F分别在边AD和AB上,点A是FG的中点,连接BE,DG.

【探究实践】

(1)探索线段DG与BE的数量关系,直接写出你的结论.?

(2)将等腰直角三角形EFG绕点A按逆时针方向旋转一定角度(旋转角大于0°,小于或等于360°)时(如图2),判断(1)的结论是否仍然成立?说明理由.;?;【自主解答】(1)∵等腰直角三角形EFG中,点A是FG的中点,

∴AE=AG=AF,∠GAE=∠EAF=90°,

∵四边形ABCD是正方形,

∴AB=AD,∠BAD=90°=∠GAD,

∴△BAE≌△DAG(SAS),∴DG=BE.

答案:DG=BE;?;?;?;?;?;?;?;?;?;类型3图形形状变化类探究

【例3】(2024·聊城东昌府区模拟)【问题情境】在某次数学课上,老师给出这样一个问题:点C,D在直线l的上方,AC⊥l于点A,BD⊥l于点B,BD=2AC,AD与BC相交于点O.

【问题探究】

(1)如图1,老师用几何画板软件作出图形并连接CD,在将BD沿直线l平移的过程中,小明同学发现△BCD是一个特殊三角形,请你判断△BCD是什么特殊三角形,并说明理由;;?;【自主解答】(1)△BCD为等腰三角形,

理由:过点C作CH⊥BD于H,如图1,

∵AC⊥l,DB⊥l,CH⊥BD,

∴∠CAB=∠