【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题05 数列 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）解析版.docxVIP

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【高中数学竞赛真题?强基计划真题考前适应性训练】

专题05数列真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）

一、单选题

1．（2020·北京·高三强基计划）满足对任意有且严格递增的数列的个数为（????）

A．0 B．1 C．无穷多个 D．前三个答案都不对

【答案】B

【分析】由题设可得，故可求，故可判断符合条件的数列的个数.

【详解】设，根据题意，有，

从而，

进而，

顺此只有当时，为严格递增数列；当时，为摆动数列．

故选：B.

2．（2020·北京·高三强基计划）已知数列满足，且对任意，有，其前n项和为，则的最大值等于（????）

A．28 B．35 C．47 D．前三个答案都不对

【答案】A

【分析】根据递推关系可得数列为递减数列且从第5项开始为负，故可求的最大值.

【详解】根据题意，有，

于是数列为8，4，，…，从第3项起为负数，

因此数列从第3项起单调递减，

而数列为，

因此的最大值为．

故选：A.

3．（2020·北京·高三强基计划）设x，y，z均不为，其中k为整数．已知成等差数列，则依然成等差数列的是（????）

A． B．

C． D．前三个答案都不对

【答案】C

【分析】利用和差化积、同角三角函数的基本关系式可得，从而可得正确的选项.

【详解】根据题意，有，

根据和差化积公式，可得，

由和差角公式可得，

两边同除以，可得，

因此成等差数列，

故选：C

4．（2020·北京·高三强基计划）已知整数数列满足，且对任意，有，则的个位数字是（????）

A．8 B．4 C．2 D．前三个答案都不对

【答案】A

【分析】根据递推关系可得，从而各项个位数字周期性出现，故可得正确的选项.

【详解】根据题意，有，

因此，

从而，

于是模10的余数为

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

4

4

8

4

0

2

8

8

6

n

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

8

0

4

6

6

2

6

0

8

2

n

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

2

4

2

0

6

4

4

8

4

0

从第2项起，以24为周期，因此．

故选A.

5．（2020·北京·高三校考强基计划）设数列的前n项和，且实数p满足．则p的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据前项和与通项的关系可求数列的通项，再求出数列的最大值和最小项后可得正确的选项.

【详解】在题中等式中分别令，有，

，，于是，，

进而可得，．

接下来考虑p的取值范围．根据题意，p在数列的任意相邻两项之间．

一方面，有，即．

另一方面，当时，有，

且，

于是有．

综上所述，实数p的取值范围是．

故选：A.

6．（2021·北京·高三强基计划）已知数列满足，数列满足，若正整数m满足，则m的最小值为（????）

A．23 B．24 C．25 D．以上答案都不对

【答案】B

【分析】可证且，从而可得m的最小值.

【详解】引入参数，k，尝试证明，该不等式若能递推证明，

需要，

也即，

取，则递推证明成立，此时递推起点可以选择当时取，有，

这样就得到了．

类似的，引入参数，p，尝试证明，该不等式若能递推证明，

需要，

也即，

取，则递推证明成立，此时递推起点可以选择当时取，有，

这排就得到了．

综上所述，m的最小值为24．

故选：B.

7．（2021·北京·高三强基计划）设是与的差的绝对值最小的整数，是与的差的绝对值最小的整数．记的前n项和为，的前n项和为，则的值为（????）

A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不对

【答案】A

【分析】根据整数的性质可得且，故可求的值.

【详解】容易证明的小数部分不可能为0.5，因此，

整理可得，

故，

注意到当时，，因此．

类似的，有，

整理可得，

故，

注意到当时，，因此．

综上所述，有．

故选：A.

二、多选题

8．（2020·北京·高三校考强基计划）已知数列满足，则（????）

A．存在数列A，使得

B．存在数列A，使得

C．存在数列A，使得

D．存在数列A，使得

【答案】BC

【分析】根据递推关系可得可以取从到的所有奇数且，故可得正确的选项.

【详解】因为，

可以取从到的所有奇数.

而，

取可得，

因此．

而可以取从到21的所有奇数（可以递推证明可以取从到的所有得数，可以取从到的所有奇数），

因此可以取2（当时）和10（当时），无法取得0，12．

故选：BC.

9．（2020·北京·高三校考强基计划）设数列的前n项和为，若数列满足对任意，均存在，使得，则称数列为T数列．下列命题中正确的有（????）

A．若则为T数列

B．若（其中a为常数），则为T数列

C．若均为T数列，，则为等差数