【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题06 不等式 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）解析版.docxVIP

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【高中数学竞赛真题?强基计划真题考前适应性训练】

专题06不等式真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）

一、单选题

1．（2020·北京·高三强基计划）若正实数x，y，z，w满足和，则的最小值等于（????）

A． B． C．1 D．前三个答案都不对

【答案】D

【分析】利用基本不等式可求最小值，从而可得正确的选项.

【详解】根据题意，有，

等号当时取得，因此所求最小值为．

故选：D.

2．（2021·北京·高三强基计划）已知，且，则的最小值是（????）

A． B．

C．417 D．以上答案都不对

【答案】A

【分析】根据题设条件可设，利用柯西不等式可求最小值.

【详解】由可得，

由对称性可设，则条件即即，

从而，

根据柯西不等式

，

等号当时取得．因此所求最小值为．

故选：A.

3．（2021·北京·高三强基计划）若a，b，c为非负实数，且，则的最小值为（????）

A．3 B．5 C．7 D．以上答案都不对

【答案】B

【分析】利用非负性可求最小值.

【详解】根据题意，

有，

等号当时可以取得，因此所求最小值为5．

故选：B.

二、填空题

4．（2021·北京·高三强基计划）在锐角中，的最小值是_________．

【答案】

【分析】利用柯西不等式及三角形的恒等式可取最小值.

【详解】记题中代数式为M，我们熟知三角形中的三角恒等式：，

于是

，

等号当时取得，因此所求最小值为

故答案为：

5．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数满足，则的最小值为________．

【答案】##0.5

【详解】由柯西不等式知

，

且，所以，

且当时取到等号．

故答案为：.

6．（2022·浙江·高二竞赛）设a，b，c，，，则的最小值为______.

【答案】

【详解】由题意可得，且，

则，

原问题等价于求函数的最小值.

，

，

，

，

令，则，

由可得，

则单调递增，

，

则单调递增，，

此时，.

故答案为：.

7．（2021·全国·高三竞赛）设正实数满足，则最大值为_________．

【答案】

【详解】解析：最大值为．

记，则，故，即，对,

求和，并结合算术-几何平均不等式，

有，

故，等号当时取到．

所以原式的最大值为．

故答案为：.

8．（2021秋·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）设，则当_______时，取到最大值．

【答案】##2.5

【分析】巧妙利用换元得到，

将取对数运算得到，将所求问题转化为求的最大值问题，

由使用两次基本不等式可求出的最大值，考查等号取得条件即可.

【详解】设，则，设，则，

可知，.

，(当且仅当，即时取等号.)

所以，故有最大值，

所以就有最大值，即有最大值.

故答案为:.

【点睛】使用基本不等式求最值关键是要有定值才能求最值，没有明显的定值要进行变形拼凑.在此题中拼凑的定值有:①及，为求最大值做准备;②通过提取公因式实现因式分解拼凑乘积，，产生了与上面遥相呼应，可以使用基本不等式.

三、解答题

9．（2023·全国·高三专题练习）设，满足又设满足，证明：

【答案】证明见解析.

【分析】根据给定条件，利用多项式平方运算求出，再利用赋值法结合已知及进行不等式的放缩，推理判断作答.

【详解】，于是，

，

因为，则，

所以.

10．（2023·全国·高三专题练习）设，是两个实系数非零多项式，且存在实数使得记，证明：

【答案】证明见解析.

【分析】根据给定条件，利用多项式恒等定理求出多项式的对应项系数的关系，再按和讨论，并结合含绝对值不等式的性质推理作答.

【详解】因为，即，

则有，

于是，

若，则，

，

，

所以，于是，

若，则由，

得，

于是

，

于是，

，

所以，于是，

综上得：.

11．（2021·全国·高三竞赛）已知：a，b，，求证：.

【答案】证明见解析

【详解】，

因为a，b，，所以.

于是，

同理，.

则：

.

故题中的不等式成立.

12．（2021·全国·高三竞赛）求所有的正实数，使得存在实数满足．

【答案】

【详解】设，则不等式化为．

当时，；

当时，；当时，．

因此不等式可化为．

设，考虑在1和之间恒小于零，则，

故，

解得．所以的取值范围是．

13．（2022·新疆·高二竞赛）（1）若实数x，y，z满足，证明：；

（2）若2023个实数满足，求的最大值．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【详解】（1）不妨设，

则

.

（2）因为2023为奇数，则中必存在（令）同号，

不妨设同号，则：

．

不妨设，则，所以：

．

当且仅当

或时等号成立．

因此的最大值为．

14．（2021·全国·高三竞赛）设m为正整数，且，求所有的实数组，使得，对所有成立．

【答案】证明见解析