【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题12 多项式 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）解析版.docxVIP

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【高中数学竞赛真题?强基计划真题考前适应性训练】

专题12多项式真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）

一、单选题

1．（2020·北京·高三强基计划）设p，q均为不超过100的正整数，则有有理根的多项式的个数为（????）

A．99 B．133 C．150 D．前三个答案都不对

【答案】B

【分析】根据的范围可得，从而可得多项式的个数.

【详解】函数单调递增，因此有唯一负有理根，注意到最高项系数为1，

因此的有理根为负整数，设为，则，

因此．

当时，有，其中，共99组；

当时，有，其中，共34组；

综上所述，符合题意的多项式的个数为．

故选：B.

2．（2020·北京·高三强基计划）设a，b，c，d是方程的4个复根，则（????）

A． B． C． D．前三个答案都不对

【答案】A

【分析】利用换元法将原方程转化为高次方程，再结合高次方程的韦达定理可求代数式的值.

【详解】法1：设，则，

类似的，定义，

则是方程，

即的4个复根，

方程左侧中的系数为，

的系数为

根据韦达定理，有．

法2：题中代数式也即，

因此是关于x的方程，

即的4个复根，

故为方程的4个复根，

从而，

原式为．

故选：A.

3．（2018·全国·高三竞赛）已知.则多项式除以后，所得余式为（????）.

A．0 B．1 C． D．

【答案】A

【详解】，是的十次单位方根.即，且.

更有是的根，其中，2，…，9.

又.

则是方程的根，其中，2，…，9.

故.选A.

二、填空题

4．（2020·北京·高三强基计划）已知是的2019个根，则__________．

【答案】1009

【分析】利用换元法结合韦达定理可求的值.

【详解】设，则，

从而是关于t的方程的2019个根，因此．

故答案为：1009.

5．（2021·全国·高三竞赛）已知多项式有2020个非零实根（可以有重根），其中为非负整数，求的最小值．

【答案】

【详解】设2020个非零实根为，易知．

当时，，所以．

由均值不等式知．这2020个式子相乘，得

．

当时，等号成立．故的最小值为．

故答案为：.

6．（2020·浙江·高三竞赛）设曲线：，若对于任意实数，直线与曲线有且只有一个交点，则的取值范围为__________.

【答案】.

【详解】直线与曲线联立，消去得：，

法1：由题设，该方程对任意的，均有且又只有一个实数解，

设，则，

则对任意的恒成立，这不可能成立，

故的取值范围为.

法2：设方程的根为，则

.

由题意得，方程无解，或方程的根为.对比两边的系数得：

.

因为，所以，方程化为

.????

（1）方程无解时，则，即对任意恒成立，

故的取值范围为.

（2）方程有唯一的解，则，于是，矛盾.

综上所述，的取值范围为.

故答案为：

7．（2021·浙江·高三竞赛）已知方程有两个不同的实数根，则有______个不同的实数根.

【答案】4

【详解】设与是方程的两个不同的根.

由韦达定理知，.

不难验证,

,

剩下只需证明,方程的根是实数且两两不同.

事实上,这两个方程的判别式显然都是正的,所以个有两个不同的实数根，

而若是这两个方程的公共根,则有(,

于是，是却明显不是它们的根.

所以方程有四个实数根.

故答案为：4.

8．（2021·全国·高三竞赛）若实数a，b满足则_________．

【答案】82

【详解】，

，

．

故答案为：82.

9．（2019·全国·高三竞赛）若是关于的一元三次方程的三个两两不等的复数根，则代数式的值为______．

【答案】625

【详解】由韦达定理得

，，．

则

.

10．（2019·全国·高三竞赛）已知实数、、、满足，，，.则______.

【答案】20

【详解】由

，????????????①

，????????????②

联立式①、②解得，.

则

.

故答案为20

11．（2019·全国·高三竞赛）对，，定义．设是一个6次多项式且满足，．用表示______．

【答案】

【详解】由，知存在多项式使得．

故，有．

又有多项式使得，即．

故，有．

从而，又有多项式使得．

则．

又由，知．

故，．

进一步有．

继续下去并利用是6次多项式可得．

故答案为

12．（2018·全国·高三竞赛）多项式的三个根成等比数列．则的值为______．

【答案】729

【详解】设多项式的三个根为，且.由韦达定理得

则.

故.

13．（2018·全国·高三竞赛）已知除多项式所得余式是.则______.

【答案】0

【详解】由题设，有

.

则，，，.

解得..

14．（2018·全国·高三竞赛）已知，且时，．则________

【答案】75315

【详解】设，则时，．

故知1，2，3，4