高三数学专题20 不等式选讲（解析版）.doc

专题20不等式选讲

1．（2020届湖南省怀化市高三第一次模拟）已知函数.

（1）若，且不等式的解集为，求的值；

（2）如果对任意，，求的取值范围.

【答案】(1)；(2)或

【解析】

(1)若，则

，

因为不等式的解集为，

所以当时，，

解得：；

(2)①当时，则

，

如果对任意，即的最小值为，

解得：；

②当时，，

则的最小值为0，不符合条件，舍去；

③当时，

，

如果对任意，即的最小值为，

解得：，

综上：的取值范围或

2．（2020届陕西省汉中市高三质检）已知函数.

（1）当a=2时，求不等式的解集；

（2）设函数.当时，，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）当时，.

解不等式，得.

因此，的解集为.

（2）当时，，

当时等号成立，

所以当时，等价于.①

当时，①等价于，无解.

当时，①等价于，解得.

所以的取值范围是.

3．（2020届四川省泸州市高三二诊）已知.

（1）解不等式；

（2）若均为正数，且，求的最小值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1），

由得或或，

解得.

（2），

所以，

由柯西不等式得：

所以，

即（当且仅当时取“=”）.

所以的最小值为.

4．（2020届山西省太原市高三模拟）已知函数，.

（Ⅰ）若的最小值为1，求实数的值；

（Ⅱ）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）

，解得：或

（Ⅱ）由得：

当时，，即：

，即：

的解集包含，解得：

即的取值范围为：

5．（2020届江西省九江市高三第二次模拟）已知函数的最大值为m.

（1）求m的值；

（2）若a，b，c为正数，且，求证：

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）的定义域为，

∴

当且仅当，即或时取等号

∴，∴

（2）由（1）知

∵，，

相加得，当且仅当时取等号.

∴

6．（2020届湖南省衡阳市高三一模）已知函数的定义域为.

（1）求实数的取值范围；

（2）设为的最大值，实数满足，试证明.

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）由题意知，恒成立，

又，

所以实数的取值范围是.

（2）由（1）可知，，所以

从而，

当且仅当，即时等号成立，证毕.

7．（2020届湖南省常德市高三模拟）设函数.

（1）解不等式；

（2）若对一切实数均成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)解集为{或};(2)的取值范围为.

【解析】

（1）当时，，原不等式即为，

解得，∴；

当时，，原不等式即为，

解得，∴；

当时，，原不等式即为，

解得，∴；

综上，原不等式的解集为{或}.

（2）.

当时，等号成立.

∴的最小值为，要使成立，

∴，解得，∴的取值范围为.

8．（2020届湖北省高三模拟）已知实数a、b满足a2+b2-ab＝3．

（1）求a-b的取值范围；

（2）若ab＞0，求证：．

【答案】（1）﹣2≤a﹣b≤2；（2）证明见解析．

【解析】

（1）因为a2+b2﹣ab＝3，所以a2+b2＝3+ab≥2|ab|．

①当ab≥0时，3+ab≥2ab，解得ab≤3，即0≤ab≤3；

②当ab＜0时，3+ab≥﹣2ab，解得ab≥﹣1，即﹣1≤ab＜0，

所以﹣1≤ab≤3，则0≤3﹣ab≤4，

而（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝3+ab﹣2ab＝3﹣ab，

所以0≤（a﹣b）2≤4，即﹣2≤a﹣b≤2；

（2）由（1）知0＜ab≤3，

因为

当且仅当ab＝2时取等号，

所以．

9．（2020届河南省郑州市高三第二次质量预测）

已知函数．

（1）当时，解不等式；

（2）若，求的最小值．

【答案】(1).

(2).

【解析】

（1）当时，

的解集为：

（2）由得：

由，得：

得（当且仅当或时等号成立），

故的最小值为.

10．（2020届广西柳州市高三第一次模拟）已知函数，不等式的解集为.

（1）求；

（2）记集合的最大元素为，若、、都是正实数，且.求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）.

当时，，解得，此时；

当时，，解得，此时；

当时，，解得，此时.

故不等式的解集为，因此，集合；

（2）由（1）可知，，

由柯西不等式得，

即，当且仅当时，即当，，时取等号.

11．（2020届广东省湛江市模拟）已知函数．

（1）若，解不等式；

（2）若对任意，求证：．

【答案】（1）（2）证明见详解.

【解析】

（1）解：∵，

∴．

∴或或，

解得或或．

∴不等式的解集为．

（2）证明：∵，

又∵，

∴．

∴成立．

12．（2020届广东省汕头市高三第一次模拟）设函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，，，证明．

【答案】（1）或（2）见解析

【解析】

（1）当时，，则

解得，即或

则