概率论与数理统计课件：随机变量的数字特征.pptx

2;§4.1随机变量的数学期望;甲乙的平均环数可写为;则计算出两人的平均环数分别为：;定义4.1设离散型随机变量X的分布律为;前例;例2设随机变量X的分布律为;例3(泊松分布的数学期望)设X的分布律为;4.1.2连续型随机变量数学期望;例4设随机变量X的概率密度为;例5（均匀分布的数学期望）设X的概率密度为;例6（指数分布的数学期望）设X的概率密度为;例7（正态分布的数学期望）设;4.1.3随机变量函数的数学期望;下面的定理告诉我们，可以直接利用随机变量X的分布来求Y=g(X)的数学期望，而不必先算出Y的分布.;定理4.1(离散型随机变量函数的数学期望)设离散型随机变量X的分布律为;定理4.2(连续型随机变量函数的数学期望)设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x),若;定理4.1和定理4.2的重要意义在于我们求E(Y)时，不必算出Y的分布律或概率密度函数，而只需利用X的分布律或概率密度就可以了.定理还可以进一步推广到两个或两个以上随机变量的函数情形.;例如，设Z是随机变量X,Y的函数Z=g(X,Y)(g是连续函数），那么，Z是一个一维随机变量.若二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y),则有;这里同样要求上式右边的级数绝对收敛.;例8随机变量X的分布律为;例9地铁到达一站的时间为每个整点的第5分钟、第25分钟、第55分钟，设一乘客在早8点~早9点之间随时到达，求候车时间的数学期望.;设Y是乘客等候地铁的时间（单位：分钟），则;Y

X;例11设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴，y轴和线x+y+1=0所围成的区域.求EX，E(-3X+2Y)，EXY.;4.1.4数学期望的性质;（诸Xi独立时）;例12求二项分布的数学期望.;因为P(Xi=1)=p,;32;我们已经介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.;4.2.1方差的概念;计算方差的一个简化公式;例1(0-1分布的方差)设X的分布律为;例2设;(1)设C是常数,则D(C)=0;;推广：若X1,X2,…,Xn相互独立,则;例3设Y服从二项分布，即Y~B(n,p),求D(Y).;下面介绍一个重要的不等式.;43;§4.3协方差、相关系数及矩;;性质1

;首先由(X,Y)的分布律，求出X和Y的边缘分布律

及XY的分布律.;例2设(X,Y)的??合概率密度为：;例3设随机变量X和Y,已知;4.3.3相关系数;4.3.3相关系数;4.3.3相关系数;?;4.3.4相关系数的性质;4.3.4相关系数的性质;4.3.4相关系数的性质;4.3.4相关系数的性质;4.3.4相关系数的性质;例5设(X,Y)服从二维正态分布，它的概率密度为

求X和Y的相关系数.;令 则有;通过该例题，我们看到

二维正态随机变量(X,Y)的概率密度函数中的参数就是X与Y的相关系数 ，

因此二维正态随机变量的分布完全可由X,Y各自的数学期望、方差以及它们的相关系数所确定.;4.3.5矩及协方差矩阵的概念;;例6设随机变量X的概率密度为

求随机变量X的1至4阶原点矩和3阶中心矩.;例7设随机变量X的概率密度为

求随机变量X的1至4阶原点矩和3阶中心矩.;4.3.5矩及协方差矩阵的概念;小结;小结;常见分布的概率函数及其所描述的随机现象以及数字特征;