2024_2025学年高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式本讲达标测试新人教A版选修4_5.docVIP

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第三讲柯西不等式与排序不等式

(本卷满分150分，考试时间120分钟)

一、选择题(每小题5分，共60分)

1.设a0，b0，则以下不等式中，不恒成立的是

A.(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4 B.a3＋b3≥2ab2

C.a2＋b2＋2≥2a＋2b D.eq\r(|a－b|)≥eq\r(a)－eq\r(b)

答案B

2.已知3x2＋2y2≤1，则3x＋2y的取值范围是

A.[0，eq\r(5)] B.[－eq\r(5)，0]

C.[－eq\r(5)，eq\r(5)] D.[－5，5]

解析|3x＋2y|≤eq\r(3x2＋2y2)·eq\r(（\r(3)）2＋（\r(2)）2)≤eq\r(5).

所以－eq\r(5)≤3x＋2y≤eq\r(5).

答案C

3.已知a，b，c是正实数，则a3＋b3＋c3与a2b＋b2c＋c2

A.a3＋b3＋c3＞a2b＋b2c＋c

B.a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c

C.a3＋b3＋c3a2b＋b2c＋c

D.a3＋b3＋c3≤a2b＋b2c＋c

解析设a≥b≥c0，则a2≥b2≥c20.由排序不等式，依次和≥乱序和，有a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a.

答案B

4.已知a，b，x1，x2为互不相等的正数，y1＝eq\f(ax1＋bx2,a＋b)，y2＝eq\f(bx1＋ax2,a＋b)，则y1与y2的大小关系为

A.y1＞y2 B.y1＜y2

C.y1＝y2 D.不能确定

答案D

5.设m，n为正整数，m1，n1，且log3m·log3n≥4，则m＋n

A.15 B.16 C.17 D

答案D

6.已知x，y，z都是正数，且x＋y＋z＝1，则eq\f(x2,y)＋eq\f(y2,z)＋eq\f(z2,x)的最小值为

A.1 B.2 C.eq\f(1,2) D.8

解析不妨设x≥y≥z0，则eq\f(1,z)≥eq\f(1,y)≥eq\f(1,x)0，且x2≥y2≥z20，

由排序不等式，得eq\f(y2,z)＋eq\f(x2,y)＋eq\f(z2,y)≥eq\f(1,z)·z2＋eq\f(1,y)·y2＋eq\f(1,x)·x2＝x＋y＋z.

又x＋y＋z＝1，所以eq\f(x2,y)＋eq\f(y2,z)＋eq\f(z2,x)≥1，当且仅当x＝y＝z＝eq\f(1,3)时，等号成立.

答案A

7.已知a，b是给定的正数，则eq\f(4a2,sin2α)＋eq\f(b2,cos2α)的最小值为

A.2a2＋b2

C.(2a＋b)2 D.4

解析eq\f(4a2,sin2α)＋eq\f(b2,cos2α)＝(sin2α＋cos2α)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4a2,sin2α)＋\f(b2,cos2α)))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinα\f(2a,sinα)＋cosα\f(b,cosα)))eq\s\up12(2)＝(2a＋b)2，当且仅当sinαeq\f(b,cosα)＝cosαeq\f(2a,sinα)时，等号成立.

故eq\f(4a2,sin2α)＋eq\f(b2,cos2α)的最小值为(2a＋b)2.

答案C

8.设a，b，c为正数，a＋b＋4c＝1，则eq\r(a)＋eq\r(b)＋2eq\r(c)的最大值是

A.eq\r(5) B.eq\r(3) C.2eq\r(3) D.eq\f(\r(3),2)

答案B

9.设实数x1，x2，…，xn的算术平均值是x，a≠x(a∈R)，并记p＝(x1－x)2＋…＋(xn－x)2，q＝(x1－a)2＋…＋(xn－a)2，则p与q的大小关系是

A.pq B.pq C.p＝q D.不确定

答案B

10.设x＋y＋z＝1，则eq\r(x2＋xy＋y2)＋eq\r(y2＋yz＋z2)＋eq\r(z2＋zx＋x2)的最小值为

A.eq\r(2) B.eq\f(\r(2),2) C.eq\r(3) D.eq\f(\r(3),3)

答案C

11.已知a0，且M＝a3＋(a＋1)3＋(a＋2)3，N＝a2(a＋1)＋(a＋1)2(a＋2)＋a(a＋2)2，则M与N的大小关系是

A.M≥N B