第60讲 空间向量及其应用（十六大题型）（讲义）（原卷版）.docx

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第05讲空间向量及其应用

目录TOC\o1-2\h\z\u

01考情透视·目标导航 2

02知识导图·思维引航 3

03考点突破·题型探究 4

知识点1：空间向量及其加减运算 4

知识点2：空间向量的数乘运算 5

知识点3：空间向量的数量积运算 6

知识点4：空间向量的坐标运算及应用 7

知识点5：向量法证明平行、垂直 7

知识点6：空间角公式 9

知识点7：空间中的距离 10

解题方法总结 11

题型一：空间向量的加法、减法、数乘运算 11

题型二：空间共线向量定理的应用 13

题型三：空间向量的数量积运算 14

题型四：三点共线问题 16

题型五：多点共面问题 18

题型六：证明直线和直线平行 21

题型七：证明直线和平面平行 22

题型八：证明平面与平面平行 23

题型九：证明直线与直线垂直 25

题型十：证明直线与平面垂直 26

题型十一：证明平面和平面垂直 27

题型十二：求两异面直线所成角 28

题型十三：求直线与平面所成角 30

题型十四：求平面与平面所成角 32

题型十五：求点面距、线面距、面面距 35

题型十六：点到直线距离、异面直线的距离 37

04真题练习·命题洞见 39

05课本典例·高考素材 40

06易错分析·答题模板 42

易错点：计算线面角出错 42

答题模板：用向量法求空间角 43

考点要求

考题统计

考情分析

（1）空间向量的线性运算

（2）空间向量基本定理及其应用

（3）向量法证明平行、垂直

（4）向量法求空间角

（5）空间距离

2024年I卷第17题，15分

2024年II卷第17题，15分

2023年I卷第18题，12分

2023年II卷第20题，12分

2022年I卷第19题，12分

2022年II卷第20题，12分

空间向量解立体几何一般以解答题形式为主,每年必考,一般12分.以解答题为主,难度中等,可灵活选择运用向量方法与综合几何方法,从不同角度解决立体几何问题,通过对比体会向量方法的优越性.选择题和填空题一般不用空间向量法.但要理解向量基本定理的本质,感悟“基底”的思想,并运用它解决立体几何中的问题.

复习目标：

（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.

（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.

（3）理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．

（4）能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用．

知识点1：空间向量及其加减运算

（1）空间向量

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或．

（2）零向量与单位向量

规定长度为0的向量叫做零向量，记作．当有向线段的起点与终点重合时，．

模为1的向量称为单位向量．

（3）相等向量与相反向量

方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量．

与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为．

（4）空间向量的加法和减法运算

①，．如图所示．

②空间向量的加法运算满足交换律及结合律

，

【诊断自测】如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（????）

A． B．

C． D．

知识点2：空间向量的数乘运算

（1）数乘运算

实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向相同；当时，向量与向量方向相反．的长度是的长度的倍．

（2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律

，．

（3）共线向量与平行向量

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作．

（4）共线向量定理

对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使．

（5）直线的方向向量

如图8-153所示，为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为②

①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式．

（6）