第63讲重难点突破03 立体几何解答题常考模型归纳总结（九大题型）（原卷版）.docx

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重难点突破03立体几何解答题常考模型归纳总结

目录TOC\o1-2\h\z\u

01方法技巧与总结 2

02题型归纳与总结 2

题型一：非常规空间几何体为载体 2

题型二：立体几何存在与探索性问题 4

题型三：立体几何折叠问题 6

题型四：立体几何作图问题 8

题型五：立体几何建系繁琐问题 10

题型六：两角相等（构造全等）的立体几何问题 12

题型七：利用传统方法找几何关系建系 14

题型八：空间中的点不好求 16

题型九：数学文化与新定义问题 18

03过关测试 22

高考立体几何解答题常考模型主要包括柱体、锥体、球体、旋转体、多面体等。这些模型常涉及体积、表面积的计算，截面问题，以及与其他几何体的组合或相交问题。此外，空间位置关系，如平行、垂直的判断与证明，也是常考内容。空间角的计算，包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等，同样是高考立体几何的重要考点。最后，空间距离的计算，如点到平面的距离、两平行平面间的距离等，也是解答题中常见的考查点。掌握这些模型的基本性质和解题方法，对于提高高考立体几何的解题能力至关重要。

题型一：非常规空间几何体为载体

【典例1-1】（2024·河南濮阳·模拟预测）如图，侧面水平放置的正三棱台，且侧棱长为．

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(1)求证：平面；

(2)求直线和平面所成角的正弦值．

【典例1-2】（2024·云南昆明·三模）如图，在三棱台中，上、下底面是边长分别为2和4的正三角形，平面，设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足，．

(1)证明：平面；

(2)若直线和平面所成角的正弦值为，求该三棱台的高．

【变式1-1】（2024·天津和平·二模）如图，三棱台中，为等边三角形，，平面ABC，点M，N，D分别为AB，AC，BC的中点，．

(1)证明：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值；

(3)求点D到平面的距离．

【变式1-2】（2024·河南周口·模拟预测）如图，平行六面体中，底面与平面都是边长为2的菱形，，侧面的面积为.

(1)求平行六面体的体积；

(2)求平面与平面的夹角的余弦值.

题型二：立体几何存在与探索性问题

【典例2-1】如图1，是边长为3的等边三角形，点分别在线段上，且，沿将翻折到的位置，使得，如图2.

(1)求证：平面平面；

(2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【典例2-2】（2024·广东·一模）如图所示，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，是与BD的交点，.

(1)记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求；

(2)设点在线段上，且存在一个正整数，使得，若已知平面与平面的夹角的正弦值为，求的值.

【变式2-1】在中，，，D为边上一点，，E为上一点，，将沿翻折，使A到处，.

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(1)证明：平面；

(2)若射线上存在点M，使，且与平面所成角的正弦值为，求λ.

【变式2-2】（2024·甘肃张掖·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，且是边长为2的等边三角形，且平面平面为中点.

(1)求证：平面；

(2)在线段上是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求的值，若不存在，请说明理由.

题型三：立体几何折叠问题

【典例3-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，在矩形中，，，将沿矩形的对角线进行翻折，得到如图2所示的三棱锥，且.

(1)求翻折后线段的长；

(2)点满足，求与平面所成角的正弦值.

【典例3-2】（2024·山东·模拟预测）如图，在菱形中，，是的中点，将沿直线翻折使点到达点的位置，为线段的中点.

(1)求证：平面；

(2)若平面平面，求直线与平面所成角的大小.

【变式3-1】（2024·河南驻马店·二模）在如图①所示的平面图形中，四边形为菱形，现沿进行翻折，使得平面，过点作，且，连接，所得图形如图②所示，其中为线段的中点，连接.

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(1)求证：平面；

(2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的值.

【变式3-2】在等腰梯形ABCD中，，，，，M为AB中点，将，沿MD，MC翻折，使A，B重合于点E，得到三棱锥．

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(1)求ME与平面CDE所成角的大小；

(2)求二面角的余弦值．

题型四：立体几何作图问题

【典例4-1】（2024·河南信阳·模拟预测）长方体中，.

(1)过E、B作一个截面，使得该截面平分长方体的表面积和体积.写出作图过程及其理由.

(2)记（1）中截面为，若与（1）中过点的长方体的三个表面成二面角分别为，求的值.

【典例4-2】（2024·高三·河北承德·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，分别是的中点．

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(1)证