1.3 空间位置关系基本理论.doc

1.3空间位置关系的基本理论

本节主要梳理空间位置关系基本理论，包括线线关系，线面关系与面面关系，这些内容是本书的理论核心之一，也是高考的必考内容之一.当然了，鉴于篇幅，关于这些关系的详细判定不作为本书的主要内容之一，在这里只是为了出于理论体系的完整与后续解决一些其他问题做好铺垫.

一．基本原理

1．直线、平面平行的判定及其性质

2．直线、平面垂直的判定及其性质

进一步，关于垂直，我们需要注意下面结论：

2.1．线线垂直（非异面直线）

（1）.等腰三角形三线合一

（2）.菱形的对角线互相垂直

（3）.矩形，正方形中的垂直

（4）.直径所对的圆周角为直角

（5）.勾股定理的逆定理，余弦定理（有边长数据时）

（6）.如图，有一个内角为的菱形（），为中点，则.

图1图2

（7）.如图，正方形中，分别为中点，则.

2.2．异面垂直

（1）.线面垂直性质

（2）.三垂线定理

（3）.如图，，设为中点，则，故面，则.

总之，异面垂线需转化，转为线面再来寻！

3.向量法证明空间位置关系

（1）两直线平行或重合两直线的方向向量共线．

（2）直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外

（3）两平面平行或重合两平面的法向量共线．

（4）两直线垂直两直线的方向向量垂直．

（5）线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直．

（6）两平面垂直两平面的法向量垂直．

上面即为空间位置关系判定的基本方法，这部分内容在高考中除了以解答题第1问形式出现外，还在选择题中多次考察，特别是现在出现的多选题，非常适合考察多样的空间位置关系，接下来我们通过例题详细说明.

二．典例分析

例1.（2019全国2卷）设为两个平面，则的充要条件是

A.内有无数条直线与平行B.内有两条相交直线与平行

C.平行于同一条直线D.垂直于同一平面

例2.（2020乙卷）设有下列四个命题：

：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

：过空间中任意三点有且仅有一个平面.

：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

:若直线平面，直线平面，则.

则下述命题中所有真命题的序号是________.

例3.（2022乙卷）在正方体中，分别为的中点，则

A．平面平面 B．平面平面

C．平面平面 D．平面平面

例4.（2021甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，分别为和的中点，为棱上的点.

（1）证明：；

（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？

点评：本题用向量法解决当然是最优的解题过程，几何法由于动点的存在，使得寻找线面垂直的过程颇费周折，考生不易在考场上想到.

三．习题演练

习题1．如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则

A．，且直线是相交直线

B．，且直线是相交直线

C．，且直线是异面直线

D．，且直线是异面直线

习题2．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，，

是底面的内接正三角形，为上一点，．证明：平面.