二、解答重难题型突破+题型5　圆的综合+课件+2025年中考数学总复习人教版（山东）.pptxVIP

题型5圆的综合

类型1与圆的性质有关的计算及证明【例1】(2024·济南模拟)如图,△ABC为☉O的内接三角形,AD⊥BC,垂足为D,直径AE平分∠BAD,交BC于点F,连接BE.(1)求证:∠AEB=∠AFD;(2)若AB=10,BF=5,求DF的长.

【自主解答】(1)∵AE为☉O的直径,∴∠ABE=90°,∴∠BAE+∠AEB=90°.∵AD⊥BC,∴∠ADF=90°,∴∠AFD+∠FAD=90°.∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠FAD,∴∠AEB=∠AFD.

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∵BM2+MF2=BF2,∴(10-2x)2+x2=52,解得x=3,x=5(不符合题意,舍去),即MF=3.∵AE平分∠BAD,AD⊥BC,∴DF=MF=3.

【方法技巧】利用圆的基本性质解决问题常见的辅助线(1)有弦时,作弦心距,过弦的一个端点引半径,构造直角三角形,用垂径定理和勾股定理;(2)有直径时,作出这条直径所对圆周角、构造直角三角形求解.

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【解析】(1)∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°.在Rt△ADP中,点C为斜边AP的中点,∴CD=AC=PC.∵PC=PD,∴CD=PC=PD,∴△PCD为等边三角形,∴∠PCD=60°.∵四边形ABDC内接于☉O,∴∠B=∠PCD=60°.

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【方法技巧】证明某条直线是圆的切线的方法当切点已知时,常连接圆心与切点,证所连半径与直线垂直.(1)当图中有90°角时:①利用等角代换得垂直;②利用平行线得垂直;③利用三角形全等证得垂直.(2)当图中没有90°角时,需要构造:①若图中有已知直径,则利用直径所对的圆周角是90°,构造直角;②若图中有等腰三角形,则利用等腰三角形“三线合一”的性质构造直角.

【变式训练】2.(2024·济宁二模)如图,AB是☉O的直径,点C是☉O上一点,∠ACB的平分线CD交直径AB于点E,交☉O于点D,过点D作DF∥AB,交CB的延长线于点F.(1)求证:DF与☉O相切于点D;(2)若AB=5,BC=3,求CE的长;(3)若DE·DC=4,求☉O半径的长.

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又∵AE=PC,∴△PBC≌△EBA(SAS),∴PB=EB.∵∠APB=∠ACB=60°,∴△PBE为等边三角形,∴PB=PE=AE+AP=PC+AP.

【启发应用】(3)如图,延长PA至点G,使AG=PC,连接BG.∵四边形ABCP是☉O的内接四边形,∴∠BAP+∠BCP=180°.∵∠BAP+∠BAG=180°,∴∠BCP=∠BAG.∵BA=BC,AG=PC,∴△PBC≌△GBA(SAS),∴PB=GB,∠PBC=∠GBA.∵∠ABC=90°,

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本课结束