立体几何不建系专题解析版.pdfVIP

专题几何法求线线角，线面角与二面角

一、求异面直线夹角常用方法：

π

平移线段或构造中位线，范围0，2

π

注：异面直线和相交直线夹角的取值范围是0，，平行直线与重合直线的夹角为0°

2

二、求线面角常用方法：

π

直线上取一点往平面作垂线段，范围0，2

如图，作直线AB∩α=B，作AH⊥α于H，∠ABH即为所求

三、二面角与面面角

(1)二面角与面面角的区别

二面角的平面角建立在两个半平面的基础上，是一个张角概念，衡量打开程度；而平面与平面的夹角建立在两个整平面

的基础上，类似于两条相交直线形成两组对顶角，人为选择不超过90°的角作为面面角二面角的平面角建立在两个半平

面的基础上，是一个张角概念，衡量打开程度；而平面与平面的夹角建立在两个整平面的基础上，类似于两条相交直线形

成两组对顶角，人为选择不超过90°的角作为面面角

二面角：由一条直线引出的2个半平面所成夹角，范围0，π

2

面面角：两个平面的夹角，范围0，π

(2)常用方法介绍

一、定义法：交线上取点½等腰三角形共底边时

作二面角步骤

第一步：在交线l上取一点O

第二步：在α平面内过O点作l的垂线OA

第三步：在β平面内过O点作l的垂线OB

∠AOB即为二面角，余弦定理求角

二、三垂线法(先作面的垂直)-后续计算小

使用情况：已知其中某个平面的垂线段

第二步：过垂直B作l的垂线OB

∠AOB即为二面角

且△AOB为直角三角形，邻比斜

三、作2次交线的垂线

作二面角步骤

第一步：作AO⊥l

第二步：作OB⊥l

连接AB，∠AOB即为二面角，余弦定理求角

四、转换成线面角

作二面角步骤

第一步：作AO⊥l

第二步：作AB⊥β(找不到垂足B的位置用等体积求AB长)

连接AB，∠AOB即为二面角

△AOB为直角三角形，邻比斜

五、转换成线线角-计算小，也是法向量的原理

提问：什么时候用？

若α平面存在垂线AB，且β平面存在垂线AC

则α平面与β平面的夹角等于直线AC与AB的夹角

六、投影面积法--面积比(三垂线法进阶)

将cosθ=边之比½面积之比，从一维到二维，可多角度求出两面积，最后求解

如图△ABC在平面α上的投影为△ABC，1

△ABC1

则平面α与平面ABC的夹角余弦值cosθ=

△ABC

S

即cosθ=投影

S原

补充：即使交线没有画出来也可以直接用

异面直线平移法

一、异面直线平移法

1如图所示，在长方体ABCD-ABCD中，AA=AB=2，AD=1，点E，F，G分别是DD，AB，CC的中点，则

1111111

异面直线AE与GF所成的角是1.

解：连接GB，BF，EG，∵点E，F，G分别是DD，AB，CC的中点，

1111

∴EG⎳DC,EG=DC，DC⎳AB,DC=AB，

111111111111

∴AB⎳EG,AB=EG，∴四边形AEGB为平行四边形，

111111

则GB⎳AE，故∠BGF或其补角即为AE与GF所成的角，